Правило произведения , или тождество Лейбница , — характерное свойство дифференциальных операторов .
δ
(
f
×
g
)
=
(
δ
f
)
×
g
+
f
×
(
δ
g
)
.
{\displaystyle \delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g).}
Часто тождество Лейбница включается как аксиома при определении дифференцирования.
Для производной
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}
Для дифференциала
d
(
f
⋅
g
)
=
(
d
f
)
⋅
g
+
f
⋅
(
d
g
)
{\displaystyle d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)}
Для
n
{\displaystyle n}
формула Лейбница :
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
,
{\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}}
биномиальные коэффициенты .
Операция
δ
l
:
⊕
k
Ω
k
→
⊕
k
Ω
k
+
l
{\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}}
градуированной алгебре
Ω
=
⊕
k
Ω
k
{\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}}
градуированному тождеству Лейбница , если для любых
K
∈
Ω
k
{\displaystyle K\in \Omega ^{k}}
F
∈
Ω
{\displaystyle F\in \Omega }
δ
l
(
K
∧
F
)
=
δ
l
(
K
)
∧
F
+
(
−
1
)
k
l
K
∧
δ
l
(
F
)
{\displaystyle \delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)}
где
∧
{\displaystyle \wedge }
Ω
{\displaystyle \Omega }
дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.
В ассоциативной алгебре верно следующее тождество:
[
A
,
B
C
]
=
[
A
,
B
]
C
+
B
[
A
,
C
]
.
{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C].}
D
A
=
[
A
,
⋅
]
.
{\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}
D
A
{\displaystyle D_{A}}
внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор
D
~
A
=
[
⋅
,
A
]
.
{\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}
Как следствие,
[
A
,
B
1
B
2
…
B
n
]
=
[
A
,
B
1
]
B
2
…
B
n
+
B
1
[
A
,
B
2
]
…
B
n
+
⋯
+
B
1
B
2
…
[
A
,
B
n
]
.
{\displaystyle [A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].}
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d98f3f4efa8d6a1813dffff358ebe64db9d549)
![{\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8329989ec7cf66b1ba318619547b7ecc96053bf5)
![{\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2589fc4605cf03cb6cbc9d034a423d1172457151)
![{\displaystyle [A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fdd4bf2008f6902e5995cf08555204ec1ec480)
