Сфера Пуанкаре

Сфера Пуанкаре — пример трёхмерной гомологической сферы, то есть трёхмерное многообразие, все гомологические группы которого совпадают с гомологическими группами трёхмерной сферы.

Пример был построен Пуанкаре. Этот пример показывает, что условие на фундаментальную группу в гипотезе Пуанкаре не может быть ослаблено до условия на группы гомологий.

Построения

• Сфера Пуанкаре может быть получена из додекаэдра склеиванием каждой грани с противоположной, повёрнутой на угол $\pi /5$ по часовой стрелке.
• Сфера Пуанкаре может быть также получена как фактор трёхмерной сферы по бинарной группе икосаэдра, или как фактор группы вращений трёхмерного пространства по группе вращений икосаэдра.
• Сфера Пуанкаре может быть также получена из трёхмерной сферы перестройкой Морса вдоль трилистника.

Свойства

• Сфера Пуанкаре — единственная гомологическая трёхмерная сфера отличная от стандартной сферы и имеющая конечную фундаментальную группу.
• Надстройка сферы Пуанкаре является четырёхмерным гомологическим многообразием, но не топологическим многообразием.
• Двойная надстройка сферы Пуанкаре гомеоморфна стандартной пятимерной сфере.

Литература

• Poincar'e's homology sphere на Manifold Atlas Project