Трилистник (узел)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Трилистник
ab-обозначение= 31
Обозначение Даукера= 4, 6, 2
Обозначение Конвея= [3]
Допускает раскраску в три цвета
Род=1
Число нитей = 3
Длина косы= 3
Число пересечений= 3
Гиперболический объём= 0
Класс= торический

В теории узлов трилистник — это простейший нетривиальный узел[en]. Трилистник можно получить, соединив два свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо[en]. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Описания[править | править вики-текст]

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

x = \sin t + 2 \sin 2t
\qquad y=\cos t - 2 \cos 2t
\qquad z=-\sin 3t

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе (r-2)^2+z^2 = 1:

x = (2+\cos 3t)\cos 2t
\qquad y=(2+\cos 3t )\sin 2t
\qquad z=\sin 3t
Вид трилистника без визуальной симметрии

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C2 единичной 3-сферы S3 с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z2 + w3 (полукубическая парабола).

Левосторонний трилистник
Правосторонний трилистник

Если один конец ленты повернуть три раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник[1].

Симметрия[править | править вики-текст]

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы, в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

Трилистник позволяет трёхцветную раскраску[en].
Простой узел становится трилистником после соединения концов.

Нетривиальность[править | править вики-текст]

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно "развязать" трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска[en] — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла[en] трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

Классификация[править | править вики-текст]

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений[en] три. Он является простым[en] и перечислен с под номером 31 в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера[en] для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея[en] трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ13.

Трилистник является альтернирующим узлом[en]. Однако, он не является срезанным узлом[en], что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура[en] ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса-Милнора[en].

Трилистник является расслоённым[en], что означает, что его дополнение[en] в S^3 является локально тривиальным расслоением над окружностью S^1. В модели трилистника как множества пар (z,w) комплексных чисел, таких что |z|^2+|w|^2=1 и z^2+w^3=0, это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора[en] \phi(z,w)=(
z^2+w^3)/|z^2+w^3| в качестве расслоения[en], а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

Инварианты[править | править вики-текст]

Trefoil Knot.gif

Многочлен Александера[en] трилистника есть

\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}, \,

а Многочлен Конвея[en]

\nabla(z) = z^2 + 1.[2]

Многочлен Джонса

V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}, \,

а многочлен Кауфмана?! трилистника —

L(a,z) = za^5 + z^2a^4 - a^4 + za^3 + z^2a^2-2a^2. \,

Группа узла трилистника задаётся представлением

\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle \,

или, эквивалентно,

\langle x,y \mid xyx=yxy \rangle. \, [3]

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуре[править | править вики-текст]

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

Трилистники
Древнескандинавский подвеска мьёльнир с трилистником  
Простой символ трикветр  
Плотный трикветр  
Немецкий Валкнут[en]  
Металлический Валкнут в виде трилистника  
Трилистник, используемый в Лого aTV[en]  

Смотрите также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Shaw, 1933, с. 11
  2. 3_1, The Knot Atlas.
  3. Weisstein, Eric W. Trefoil Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.

Литература[править | править вики-текст]

  • George Russell Shaw. Knots: Useful & Ornamental. — 1933.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]