Перестройка Морса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения замкнутого многообразия в клеточное пространство существуют такой бордизм и такое отображение , что , а является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов (где гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории.

Конструкция[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкое -мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена -мерная сфера . Предположим, что нормальное расслоение сферы в многообразии тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность сферы в разлагается в прямое произведение , где  — диск размерности . Выбрав такое разложение, вырежем из внутренность окрестности . Получится многообразие, край которого разложен в произведение сфер. Точно такой же край имеет многообразие . Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие без края, которое и называется результатом хирургии многообразия вдоль сферы .

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности сферы в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы в многообразии , при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия .

Число называется индексом хирургии, а пара её типом. Если получается из хирургией типа , то получается из хирургией типа . При многообразие является дизъюнктным объединением многообразия (которое может быть в этом случае пустым) и сферы .

Примеры[править | править вики-текст]

  • При и в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при  — тор.
  • При и получается произведение .
  • Случай и сложнее: если сфера вложена в стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы , то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если является краем -мерного многообразия , то будет краем многообразия , полученного из приклеиванием ручки индекса .
    • В частности, если  — гладкая функция на многообразии и  — такие числа, что множество компактно и содержит единственную критическую точку , которая невырождена, то многообразие получается из многообразия хирургией индекса , где  — индекс Морса критической точки .
    • Более общим образом, любая перестройка многообразия индекса определяет некоторый бордизм , и на триаде существует
  • функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса , причем любой бордизм , на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
    • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
  • При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.