Противоположное число

Противоположное число $n'$ по отношению к числу $n$ — это число, которое при сложении с $n$ даёт ноль. А данное явление называется взаимным уничтожением слагаемых.

$n+n'=0$

Для любого действительного (или комплексного) числа существует число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n'=-n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$.

Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот. Существует лишь одно число, противоположное к которому совпадает с ним самим. Это число нуль.

Не стоит путать термины «противоположное число» и «обратное число». Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равняется единице. Например, число, обратное к 7, это 1/7, а противоположное −7.

Противоположное к комплексному

Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Противоположное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	$-r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$
Показательная	$re^{i\varphi }$	$-re^{i\varphi }$

__________Обозначение__________ $z\in \mathbb {C}$ (комплексное число), $x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$ (действительная часть комплексного числа), $y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$ (мнимая часть комплексного числа), $i$ — мнимая единица, $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ (модуль комплексного числа), $\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$ (аргумент комплексного числа), $e$ — основание натурального логарифма.

Противоположное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), противоположное и обратное числа к которым равны. Это $\pm i$.

Число	Равенство противоположного и обратного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
$i$	$-i={\frac {1}{i}}$	$-i=i^{-1}$
$-i$	$i=-{\frac {1}{i}}$	$i=-i^{-1}$

__________Доказательство__________ Покажем доказательство для $i$ (для $-i$ аналогично). Используем основное свойство дроби: ${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i$ Таким образом, получаем $-i={\frac {1}{i}}$__или__$-i=i^{-1}$ Аналогично для $-i$: __ $i=-{\frac {1}{i}}$ __ или __ $i=-i^{-1}$

См. также

Обратное число