Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов $P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\}$, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

Рекурсивное определение

$P_{-1}^{\lambda }=0$

$P_{0}^{\lambda }=1$

$nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+(n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0$

Свойства

• Симметричные многочлены Полачека $\left(P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)\right)$ ортогональны на всей вещественной оси с весом:

${\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^{2}$, где $\Gamma$ — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

$P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!}}\delta ^{n}G\left(\lambda +{\frac {n}{2}}\right)$, где $G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)}}e^{\pi x}$ — мероморфная функция, а $\delta$ — оператор конечной разности $(\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)$

Литература

• В. Н. Сорокин. Обобщенные многочлены Полачека (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200, № 4. — С. 113—130.