Ортогональные многочлены

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

,

где каждый многочлен имеет степень , а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве .


Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

Определение[править | править вики-текст]

Ортогональность с весом[править | править вики-текст]

Пусть промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция связана с пространством функций , для которых сходится интеграл

.

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

для вещественных функций,
для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю , то такие функции называются ортогональными с весом . Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

Классическая формулировка[править | править вики-текст]

Систему многочленов

называют ортогональной, если

  1.  — многочлен степени ,
  2. , где  — символ Кронекера, — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму . Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов[править | править вики-текст]

Рекуррентные соотношения[править | править вики-текст]

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

где

,
и — коэффициенты при членах и в полиноме

Эта формула остаётся справедливой и для , если положить .


Формула Кристоффеля-Дарбу[править | править вики-текст]

,

или при

Корни многочленов[править | править вики-текст]

Все корни многочлена являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности .

Между двумя последовательными корнями многочлена расположен в точности один корень многочлена и, по крайней мере, один корень многочлена , при .

Минимальность нормы[править | править вики-текст]

Каждый многочлен в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов такой же степени и с таким же первым коэффициентом.


Полнота системы[править | править вики-текст]

Система ортогональных многочленов является полной. Это значит, что любой многочлен степени n может быть представлен в виде ряда

,

где коэффициенты разложения.


Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленам[править | править вики-текст]

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

где и заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а и неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

где Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел и множеству собственных функций , обладающих следующими свойствами:

  • — полином степени n, зависящий от
  • последовательность ортогональна с весовой функцией
  • Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности
  • Числа и полиномы могут быть получены из формул
формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены
Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к с интервалом ортогональности . Решениями являются многочлены Якоби или их частные случаи многочлены Гегенбауэра , Лежандра или Чебышёва обоих типов , .
2. Лагерроподобные многочлены
Q и L — многочлены первого порядка. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к и интервалу ортогональности . Решениями являются обобщённые многочлены Лагерра или их частному случаю многочленам Лагерра .
3. Эрмитоподобные многочлены
Q — ненулевая константа, L — многочлен первого порядка. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к и интервалу ортогональности . Решениями являются многочлены Эрмита .

Производные ортогональных полиномов[править | править вики-текст]

Обозначим как m-ую производную полинома . Производная является полиномом степени и обладает следующими свойствами:

  • ортогональность
Для заданного m последовательность полиномов ортогональна с весовой функцией
  • дифференциальное уравнение
, где
  • дифференциальное уравнение второго вида
, где
  • рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)

Классические ортогональные многочлены[править | править вики-текст]

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены Якоби[править | править вики-текст]

Многочлены Якоби обозначаются , где параметры и вещественные числа больше −1. Если и не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки .

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальные уравнения
  • Собственные числа
  • Рекуррентная формула
где
  • Нормировка

Многочлены Гегенбауэра[править | править вики-текст]

Многочлены Гегенбауэра обозначаются , где параметр вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров и

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром и соответствующей нормализацией.

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальные уравнения
  • Собственные числа
  • Рекуррентная формула
  • Нормировка
если
  • Прочие свойства

Многочлены Лежандра[править | править вики-текст]

Многочлены Лежандра обозначаются и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальные уравнения
  • Собственные числа
  • Рекуррентная формула
  • Нормировка
  • Первые несколько многочленов

Многочлены Чебышёва[править | править вики-текст]

Многочлен Чебышёва часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальное уравнение
  • Собственные числа
  • Рекуррентная формула
  • Нормировка

Многочлен Чебышёва второго рода характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале меньше всего отклоняется от нуля

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальное уравнение
  • Нормировка

Многочлены Лагерра[править | править вики-текст]

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются , где параметр вещественное число больше -1. Для обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальные уравнения
  • Собственные числа
  • Рекуррентная формула
  • Нормировка
  • Прочие свойства

Многочлены Эрмита[править | править вики-текст]

  • Весовая функция на промежутке ортогональности
  • Дифференциальные уравнения
  • Собственные числа
  • Рекуррентная формула
  • Нормировка
  • Первые несколько многочленов

Построение ортогональных многочленов[править | править вики-текст]

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта[править | править вики-текст]

Система ортогональных многочленов может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов следующим образом. Определим проектор как

,

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функции[править | править вики-текст]

Весовая функция , заданная на промежутке , однозначно определяет систему ортогональных многочленов с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

моменты весовой функции, тогда многочлен может быть представлен в виде:

.

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум операций.


По рекуррентным формулам[править | править вики-текст]

Если выбрать нормировку многочлена таким образом, что коэффициент при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

где

.

Применение ортогональных многочленов[править | править вики-текст]

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул

где и являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов до степени включительно. При этом узлы есть корни n-го полинома из последовательности полиномов , ортогональных с весовой функцией . Веса вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого и второго типа часто используется для аппроксимации функций.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Gabor Szego. Orthogonal Polynomials. — Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. — ISBN 0-8218-1023-5.
  • Dunham Jackson. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. — New York: Dover, 1941, 2004. — ISBN 0-486-43808-2.
  • Refaat El Attar. Special Functions and Orthogonal Polynomials. — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9.
  • Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. — Gordon and Breach, New York, 1978. — ISBN 0-677-04150-0.

Для дальнейшего чтения[править | править вики-текст]