Многочлены Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула

Скалярное произведение

Область определения

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

Названы в честь

Якоби, Карл Густав Якоб

Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение[править | править вики-текст]

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]:

где является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

Откуда одно из конечных значений следующее

Для целых

где — обычная гамма-функция, и

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

для и .

Существует отношение симетрии для полиномов Якоби.

а потому еще одно значение полиномов:

Для действительного полином Якоби может быть записан следующим образом.

где и .

В особом случае, когда , , и - неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

Сумма берется по всем целым значениям , для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера () в терминах полиномов Якоби[2]

Производные[править | править вики-текст]

k-тая производная явного выражения приводит к

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0486612720, MR0167642
  2. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
  • Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions, vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255