Многочлены Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Названы в честь Карл Якоби

Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение[править | править код]

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]:

где является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

Откуда одно из конечных значений следующее

Для целых

где  — обычная гамма-функция, и

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

для и .

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

а потому ещё одно значение полиномов:

Для действительного полином Якоби может быть записан следующим образом.

где и .

В особом случае, когда , , и  — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

Сумма берется по всем целым значениям , для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера () в терминах полиномов Якоби[2]

Производные[править | править код]

-я производная явного выражения приводит к

Примечания[править | править код]

  1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0, MR0167642
  2. Biedenharn L. C., Louck J. D. Angular Momentum in Quantum Physics. — Addison-Wesley, Reading, 1981.

Литература[править | править код]

  • Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions, vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR: 1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 .
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .