Многочлены Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полиномы Якоби - класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула

P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}\sum_{m=0}^n {n\choose m}\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m

Скалярное произведение

(f, g) = \int_{-1}^{1}{(1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x) g(x) dx}

Область определения

[-1, 1]

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0

Названы в честь

Якоби, Карл Густав Якоб

Определение[править | править исходный текст]

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

где (\alpha+1)_n является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,

Откуда одно из конечных значений следующее

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.

Для целых n\,


{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

где \Gamma(z)\, — обычная гамма-функция, и


{z\choose n} = 0 \quad\hbox{for}\quad n < 0.

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности


\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} 
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}

для \alpha>-1 и \beta>-1.

Существует отношение симетрии для полиномов Якоби.

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);

а потому еще одно значение полиномов:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Для действительного x полином Якоби может быть записан следующим образом.

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}

где s \ge 0 \, и  n-s \ge 0 \, .

В особом случае, когда n, n+\alpha, n+\beta и n+\alpha +\beta - неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.

Сумма берется по всем целым значениям s, для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера d^j_{m' m}(\phi)\; (0\le \phi\le 4\pi) в терминах полиномов Якоби[2]


d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

Производные[править | править исходный текст]

k-тая производная явного выражения приводит к


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z).

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0486612720, MR0167642
  2. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
  • Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), «Special functions», vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., «Orthogonal Polynomials», NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255