Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
Пусть дано вероятностное пространство
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
несовместных событий
{
B
i
}
i
=
1
n
⊂
F
{\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}}
∀
i
P
(
B
i
)
>
0
;
{\displaystyle \forall i\;\mathbb {P} \;(B_{i})>0;}
∀
j
≠
i
B
i
∩
B
j
=
∅
;
{\displaystyle \forall {j\neq i}\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing ;}
⋃
i
=
1
n
B
i
=
Ω
.
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .}
Пусть
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
P
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
B
i
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A\mid B_{i})\mathbb {P} (B_{i})}
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть
N
{\displaystyle N}
случайная величина , имеющая распределение
P
(
N
=
n
)
=
P
(
B
n
)
{\displaystyle \mathbb {P} (N=n)=\mathbb {P} (B_{n})}
Тогда
P
(
A
)
=
E
[
P
(
A
∣
N
)
]
{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} (A\mid N)\right]}
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности .
![{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} (A\mid N)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5bbd2c3bba4bb8348b3a0ee6c7e67c6d601888)