C*-алгебра

$C^{*}$-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс $C^{*}$-алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение $C^{*}$-алгебр, с того момента $C^{*}$-алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных $C^{*}$-алгебр.

Частным случаем $C^{*}$-алгебры является комплексная алгебра над полем $A$ линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• $A$ является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы,
• $A$ замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс негильбертовых $C^{*}$-алгебр составляют алгебры непрерывных функций $C_{0}(X)$ на пространстве $X$.

Определения

Согласно определению, данному Гельфандом и Наймарком$C^{*}$-алгеброй называют, $C^{*}$-алгебра определяется как банахова алгебра $A$ над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой $x\in A$ которой определено отображение $x\mapsto x^{*}$ со следующими свойствами:

• инволютивность: $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$,
• согласованность со сложением: $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$,
• согласованность с умножением: $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$,
• для всякого $\lambda \in \mathbb {C}$ выполнено $(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}$,
• выполнено так называемое $C^{*}$-тождество: $\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|$

Все эти свойства без $C^{*}$-тожества определяют $^{*}$-алгебру (то есть $C^{*}$-алгебра — это $^{*}$-алгебра с $C^{*}$-тождеством). $C^{*}$-тождество эквивалентно формуле:

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}$.

$C^{*}$-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что $C^{*}$-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

$\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{— необратим}}\}$.

Ограниченный оператор $\pi \colon A\to B$ между $C^{*}$-алгебрами $A$ и $B$ называется $^{*}$-гомоморфизмом, если для всех $x$ и $y$ из $A$ выполняется:

$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)$

и для всех $x$ из $A$ выполняется:

$\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}$.

В случае $C^{*}$-алгебр, любой $^{*}$-гомоморфизм $\pi$ между $C^{*}$-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой $\leqslant 1$. Кроме того, инъективный $^{*}$-гомоморфизм между $C^{*}$-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями $C^{*}$-тождества.

Биективный $^{*}$-гомоморфизм $\pi$ называется $C^{*}$-изоморфизмом, и в этом случае $A$ и $B$ называются изоморфными.

Ссылки

• Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов = C*-Algebras and Operator Theory. — М.: Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X.
• Arveson W.. An Invitation to $C^{*}$-Algebra (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0.
• Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X
• Dixmier, Jacques (1969), Les $C^{*}$-algebres et leurs representations, Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
• Doran, Robert S.; Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of $C^{*}$-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
• A. I. Shtern (2001), "C* algebra", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Sakai, S. (1971), $C^{*}$-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
• Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (2): 73—88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5