Операторная норма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, для ограниченного линейного оператора из одного нормированного пространства в другое можно однозначно определить норму, называемую операторной нормой, а также подчинённой или индуцированной. Она превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).

Определение и обозначения[править | править вики-текст]

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно K = R или K = C.

Пусть V1 и V2 — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V1 в V2. Если существует такое неотрицательное число[1] M, что

\forall x\in V_1: \|Tx\| \leqslant M\|x\|,

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой T. Если V1 конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле[2]:

 \begin{align}
\|T\| &= \max\{\|Tx\| : x\in V_1,\ \|x\|= 1\} \\
&= \sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x\in V_1,\ x\ne 0\right\}.
\end{align}

Если пространство V1 состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но T‖ = 0 поскольку T = 0.

Линейное пространство ограниченных операторов из V1 в V2 обозначается L(V_1,V_2). В случае когда V_1=V_2=V пишут L(V) вместо L(V,V). Если Hгильбертово пространство, то иногда пишут B(H) вместо L(H).

Свойства[править | править вики-текст]

Ограниченность и непрерывность[править | править вики-текст]

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда[источник?] и только тогда, когда он непрерывен.

Собственно, норма[править | править вики-текст]

На L(V_1,V_2) можно ввести структуру векторного пространства с операциями (T+S)x=Tx+Sx и T(\alpha x)=\alpha (Tx), где T,S\in L(V_1,V_2), x,y\in V_1, а \alpha\in K — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, т.е. удовлетворяет соответственным аксиомам:

  • \|T\|\geqslant 0 (по определению)
  • \|T\|= 0 если и только если T=0 (следует из определения нормированного пространства)
  • \|\alpha T\|=|\alpha| \|T\| для всех \alpha из K
  • \|S+T\| \leqslant \|S\|+\|T\| для всех ограниченных операторов S и T из V1 в V2.

Субмультипликативность[править | править вики-текст]

Если S — оператор из V3 в V2, а T — оператор из V1 в V2, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

\|ST\| \le \|S\|\|T\| .

В случае V1 = V2 = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства L(V), и потому операторная норма превращает операторную алгебру L(V) в нормированную алгебру.

Полнота[править | править вики-текст]

Пространство L(V_1,V_2) является банаховым тогда и только тогда, когда V1 нульмерно[3] или V2 банахово.

Если V — банахово пространство, то L(V) с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Примеры использования[править | править вики-текст]

Между конечномерными пространствами[править | править вики-текст]

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствах[править | править вики-текст]

Алгебра ограниченных операторов L(H) (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

Сравнения[править | править вики-текст]

Операторной нормы с другими нормами[править | править вики-текст]

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими[править | править вики-текст]

В конечномерном случае (когда оба пространства V1 и V2 конечномерны), L(V_1,V_2) тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V1 и V2 бесконечномерны, на L(V_1,V_2) возможны более слабые (грубые) топологии:

Литература[править | править вики-текст]

Сноски[править | править вики-текст]

  1. В общем случае — элемент упорядоченного поля, в котором принимает значения нормирование на K.
  2. Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 210
  3. В таком случае L(V_1,V_2) = \{0\}, а оно полно.