Операторная норма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Операторная норманорма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной, подчинённой или индуцированной нормой.

Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).

Определение и обозначения[править | править вики-текст]

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно K = R или K = C.

Пусть V1 и V2 — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V1 в V2. Если существует такое неотрицательное число[1] M, что

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой T. Если V1 конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле[2]:

Если пространство V1 состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но T‖ = 0 поскольку T = 0.

Линейное пространство ограниченных операторов из V1 в V2 обозначается . В случае когда пишут вместо . Если гильбертово пространство, то иногда пишут вместо .

Свойства[править | править вики-текст]

Ограниченность и непрерывность[править | править вики-текст]

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда[источник не указан 871 день] и только тогда, когда он непрерывен.

Собственно, норма[править | править вики-текст]

На можно ввести структуру векторного пространства с операциями и , где , , а  — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, т.е. удовлетворяет соответственным аксиомам:

  • (по определению)
  • тогда и только тогда, когда (следует из определения нормированного пространства)
  • для всех из
  • для всех ограниченных операторов и из V1 в V2.

Субмультипликативность[править | править вики-текст]

Если S — оператор из V3 в V2, а T — оператор из V1 в V2, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

.

В случае V1 = V2 = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства , и потому операторная норма превращает операторную алгебру в нормированную алгебру.

Полнота[править | править вики-текст]

Пространство является банаховым тогда и только тогда, когда V1 нульмерно[3] или V2 банахово.

Если V — банахово пространство, то с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Примеры использования[править | править вики-текст]

Между конечномерными пространствами[править | править вики-текст]

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствах[править | править вики-текст]

Алгебра ограниченных операторов  (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

Сравнения[править | править вики-текст]

Операторной нормы с другими нормами[править | править вики-текст]

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими[править | править вики-текст]

В конечномерном случае (когда оба пространства V1 и V2 конечномерны), тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V1 и V2 бесконечномерны, на возможны более слабые (грубые) топологии:

Литература[править | править вики-текст]

Сноски[править | править вики-текст]

  1. В общем случае — элемент упорядоченного поля, в котором принимает значения нормирование на K.
  2. Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 210.
  3. В таком случае , а оно полно.