Операторная норма

Операторная норма — норма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной, подчинённой или индуцированной нормой.

Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).

Определение и обозначения

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно K = $\mathbb {R}$ или K = $\mathbb {C}$.

Пусть V₁ и V₂ — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V₁ в V₂. Если существует такое неотрицательное число M, что

$\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,$

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой ‖T‖. Если V₁ конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле:

${\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$

Если пространство V₁ состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но ‖T‖ = 0 поскольку T = 0.

Линейное пространство ограниченных операторов из V₁ в V₂ обозначается $L(V_{1},V_{2})$. В случае когда $V_{1}=V_{2}=V$ пишут $L(V)$ вместо $L(V,V)$. Если $H$ — гильбертово пространство, то иногда пишут $B(H)$ вместо $L(H)$.

Свойства

Ограниченность и непрерывность

Основная статья: Линейный непрерывный оператор

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.

Норма

На $L(V_{1},V_{2})$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями $(T+S)x=Tx+Sx$ и $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$, где $T,S\in L(V_{1},V_{2})$, $x\in V_{1}$, а $\alpha \in K$ — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:

• $\|T\|\geqslant 0$ (по определению)
• $\|T\|=0$ тогда и только тогда, когда $T=0$ (следует из определения нормированного пространства)
• $\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ для всех $\alpha$ из $K$
• $\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ для всех ограниченных операторов $S$ и $T$ из V₁ в V₂.

Субмультипликативность

Если S — оператор из V₂ в V₃, а T — оператор из V₁ в V₂, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

$\|ST\|\leq \|S\|\|T\|$.

В случае V₁ = V₂ = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства $L(V)$, и потому операторная норма превращает операторную алгебру $L(V)$ в нормированную алгебру.

Полнота

Пространство $L(V_{1},V_{2})$ является банаховым тогда и только тогда, когда V₁ нульмерно или V₂ банахово.

Если V — банахово пространство, то $L(V)$ с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Примеры использования

Между конечномерными пространствами

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствах

Основная статья: алгебра фон Неймана

Алгебра ограниченных операторов $L(H)$ (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

Сравнения

Операторной нормы с другими нормами

Основная статья: Норма Шаттена

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими

В конечномерном случае (когда оба пространства V₁ и V₂ конечномерны), $L(V_{1},V_{2})$ тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V₁ и V₂ бесконечномерны, на $L(V_{1},V_{2})$ возможны более слабые (грубые) топологии:

• Сильная операторная топология; название вводит в заблуждение, так как она слабее (грубее) топологии нормы.
• Слабая операторная топология; ещё слабее (грубее).

Литература

• Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.