h-кобордизм

h-кобордизм — бордизм $(W;M,M')$, где $W$ — компактное дифференцируемое многообразие, край которого $\partial W$ — объединение непересекающихся замкнутых многообразий $M$ и $M'$, являющихся деформационными ретрактами $W$. Простейший пример — тривиальный $h$-кобордизм

$(M\times [0,1];M\times 0,M\times 1).$

Многообразия $M$ и $M'$ называются $h$-кобордантными, если существует $h$-кобордизм $(W;M,M')$ соединяющий их.

Свойства

• (Теорема об $h$-кобордизме) Если $(W;M,M')$ — $h$-кобордизм, а $M$ и $M'$ — односвязные гладкие (или кусочно линейные) многообразия и $\operatorname {dim} W\geqslant 6$, то $W$ диффеоморфно (кусочно линейно изоморфно) тривиальному $h$-кобордизму.
  • В частности, $M$ диффеоморфно $M'$.
  • Эту теорему доказал Стивен Смейл, и он использовал её в доказательстве обобщенной гипотезы Пуанкаре в размерностях $\geqslant 5$.

Вариации и обобщения

• Если убрать условие односвязности кобордантных многообразий $M$ и $M'$, то препятствием к тривиальности кобордизма между ними является кручение Уайтхеда. Теорема об $s$-кобордизме гласит, что кобордизм между двумя многообразиями является тривиальным тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда обнуляется.

Литература

• Милнор, Дж., Теорема об $h$-кобордизме, М., 1969;
• Smale S., Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four , The Ann. of Math., 2nd Ser., Vol 74, No. 2. (Sep ., 1961), pp. 391-406.