Геронов треугольник

Геронов треугольник — треугольник, стороны и площадь которого являются целыми числами. Героновы треугольники названы в честь греческого математика Герона. Термин иногда понимается несколько шире и распространяется на треугольники, имеющие рациональные стороны и площадь.

Свойства

Все прямоугольные треугольники, стороны которых образуют пифагоровы тройки, являются героновыми, поскольку стороны их по определению целочисленны, а площадь тоже целочисленна, поскольку является половиной произведения катетов, один из которых обязательно имеет чётную длину.

Треугольник со сторонами c, e и b + d, и высотой a.

В качестве примера геронова треугольника, не имеющего прямого угла, можно привести равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается путём объединения двух прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 вдоль стороны длиной 4. Этот подход работает и в общем случае, как показано на рисунке справа. Берётся пифагорова тройка (a, b, c), где c — наибольшая сторона, затем другая тройка (a, d, e), в которой наибольшей стороной будет e, строятся треугольники по заданным длинам сторон и объединяются вдоль стороны с длиной a, получая треугольник со сторонами c, e и b + d и площадью

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a$ (половина произведения основания на высоту).

Если a чётно, то площадь будет целым числом. Менее очевиден случай, когда a нечётно, но и в этом случае A остаётся целым, поскольку стороны b и d должны быть чётными числами, а следовательно, b+d тоже будет чётным.

Некоторые героновы треугольники невозможно получить объединением прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами методом, описанным выше. Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников. Такие героновы треугольники называются неразложимыми. Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, отказавшись от целочисленности, то разбиение на два прямоугольных треугольника с рациональными сторонами всегда существует, поскольку все высоты геронова треугольника являются рациональными числами (поскольку высота равна удвоенной площади, делённой на основание, и оба эти числа являются целыми). Так, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 можно получить из рациональных пифагоровых треугольников со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Заметим, что рациональные пифагоровы тройки являются просто версиями целочисленных пифагоровых троек, поделённых на целое число.

Другие свойства героновых треугольников можно найти в статье Целочисленный треугольник#Героновы треугольники.

Точная формула для героновых треугольников

Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям

$a=n(m^{2}+k^{2})$

$b=m(n^{2}+k^{2})$

$c=(m+n)(mn-k^{2})$

Полупериметр $=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)$

Площадь $=mnk(m+n)(mn-k^{2})$

Радиус вписанной окружности $=k(mn-k^{2})$

$s-a=n(mn-k^{2})$

$s-b=m(mn-k^{2})$

$s-c=(m+n)k^{2}$

для целых m, n и k, где

$\gcd {(m,n,k)}=1$

$mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)$

$m\geq n\geq 1$.

Коэффициент пропорциональности в общем случае является рациональным числом ${\frac {p}{q}}$ , где  $q=\gcd {(a,b,c)}$  приводит полученный геронов треугольник к примитивному, а  $p$  растягивает его до требуемых размеров. Например, взяв m = 36, n = 4 и k = 3, получим треугольник со сторонами a = 5220, b = 900 и c = 5400, который подобен геронову треугольнику 5, 29, 30, и коэффициент пропорциональности имеет числитель p = 1 и знаменатель q = 180.

См. также Героновы треугольники с одним углом, вдвое большим другого, Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии и Равнобедренные героновы треугольники.

Примеры

Список примитивных целочисленных героновых треугольников, отсортированный по площади и, в случае равенства площадей, по периметру. «Примитивный» означает, что наибольший общий делитель трёх длин сторон равен 1.

Площадь	Периметр	Длины сторон
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Героновы треугольники особого вида

Сравнимые треугольники

Фигура называется сравнимой, если площадь равна периметру. Имеется ровно пять сравнимых героновых треугольников — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17)

Почти равносторонние героновы треугольники

Поскольку площадь правильного треугольника с рациональными сторонами является числом иррациональным, никакой равносторонний треугольник не может быть героновым. Однако существует последовательность героновых треугольников, которые «почти правильные», поскольку их стороны имеют вид n − 1, n, n + 1. Несколько первых примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в таблице ниже (последовательность A003500 в OEIS).

Длина стороны			Площадь	Радиус вписанной
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Следующее значение для n можно найти, умножив предыдущее на 4, а затем вычтя значение, ему предшествующее (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, и т. д.). Таким образом,

$n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}$,

где t означает номер строки в таблице. Эта последовательность является последовательностью Люка. Можно также получить эту последовательность по формуле $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$ для всех n. Если положить A = площадь, а y = радиус вписанной окружности, то

${\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}$,

где {n, y} являются решениями уравнения n² − 12y² = 4. Небольшая подстановка n = 2x даёт известное уравнение Пелля x² − 3y² = 1, решения которого можно получить из разложения √3 в непрерывную дробь

Переменная n имеет вид $n={\sqrt {2+2k}}$, где k равно 7, 97, 1351, 18817, …. Числа в этой последовательности имеют свойство, что k последовательных целых имеют целочисленное среднеквадратическое отклонение.

С рациональными медианами

Существуют героновы треугольники, в которых две медианы также имеют рациональные длины. Бесконечное семейство таких треугольников порождается парой последовательностей Сомоса, что было сначала замечено эмпирически и лишь затем строго доказано. На 2022 год известно также несколько примеров, не относящихся к этому бесконечному семейству.

См. также

• Геронов тетраэдр
• Четырёхугольник Брахмагупты
• Прямоугольный треугольник
• Пятиугольник Роббинса
• Треугольник
• Целочисленный треугольник

Ссылки

• John R. Carlson. Determination of Heronian Triangles // Fibonacci Quarterly. — 1970. — Т. 8.
• R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publications, Inc., 1959. — С. 1914, Diophantine Analysis.
• Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. The Brahmagupta Triangles. — 1998. — Т. 29, вып. 1 January. — doi:10.2307/2687630.
• Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers. — Dover Publications, 2005. — Т. Il: Diophantine Analysis. — ISBN 9780486442334.
• Andrew N. W. Hone. Heron triangles with two rational medians and Somos-5 sequences // European Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 8. — P. 1424–1486. — arXiv:2107.03197. — doi:10.1007/s40879-022-00586-w.
• L. Markowitz. Area = Perimeter // The Mathematics Teacher. — 1981. — Т. 74, вып. 3. — С. 222—3.
• William H. Richardson. Super-Heronian Triangles. — 2007.
• Wacław Sierpiński. Pythagorean Triangles. — Переиздание книги 1962 года. — Dover Publications, Inc., 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6.
• Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.
• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. Heronian Triangles // Am. Math. Monthly. — 1929. — Т. 36, вып. 1 January. — С. 22—28. — .
• S. Sh. Kozhegel'dinov. On fundamental Heronian triangles // Math. Notes. — 1994. — Т. 55, вып. 2. — С. 151—6. — doi:10.1007/BF02113294.