Медиана треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Свойства[править | править вики-текст]

Основное свойство[править | править вики-текст]

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править вики-текст]

  • В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
  • Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
  • У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан[править | править вики-текст]

Окружность девяти точек
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства[править | править вики-текст]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Основные соотношения[править | править вики-текст]

  • Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
    m_c =\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2).
  • Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2},
где m_a, m_b, m_c медианы к соответствующим сторонам треугольника, a, b, c — стороны треугольника.

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «медиана»

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]