Древнеегипетское умножение

Древнеегипетское умножение (известное также как египетское умножение, эфиопское умножение, русское умножение или крестьянское умножение) — это один из двух методов умножения двух чисел, который не требует знания таблицы умножения, а только умение умножать и делить на два, умение складывать. Метод раскладывает один из множителей (чаще всего наименьший) на сумму степеней двойки и создаёт таблицу удвоения второго множителя. Этот метод можно назвать методом нахождения середины и удвоения, где нахождение середины означает деление одного числа пополам, а удвоение означает увеличение другого числа в два раза. Метод всё ещё применяется в некоторых регионах.

Вторая техника египетского умножения и деления известна из иератических математических папирусов — московского и папируса Ринда, написанного в семнадцатом веке писарем Ахмесом.

Хотя в древнем Египте концепции двоичной системы не было, алгоритм является, по существу, алгоритмом умножения в столбик, в котором множители предварительно преобразуются в двоичные числа. Таким образом, если понимать метод как умножение чисел в двоичном виде, он широко применяется и в современности в вычислительных блоках процессоров.

Метод

Древние египтяне составляли таблицы больших степеней двойки, не вычисляя их каждый раз. Разложение числа состояло в нахождении степеней, которые в сумме составляют число. Египтяне эмпирически знали, что данная степень двух только один раз появляется в разложении числа в сумму. Для разложения числа был систематический подход: сначала находили наибольшую степень двойки, не превосходящую число, а потом найденная степень вычиталась из числа, и процесс повторялся, пока число не исчерпывалось. Египтяне не использовали число ноль.

После разложения первого множителя строилась таблица умножения степеней двойки на второй множитель (обычно меньший) от единицы до максимальной степени, найденной в процессе разложения.

Результат получается путём сложения тех чисел из второй колонки, для которых соответствующая степень двойки присутствует в разложении первого множителя.

Пример

25 × 7 = ?

Разложение числа 25:

Наибольшая степень двойки, не превосходящая 25	равна 16:	25 − 16	= 9.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 9	равна 8:	9 − 8	= 1.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 1	равна 1:	1 − 1	= 0.
25 есть сумма чисел 16, 8 и 1.

Составляем таблицу умножения 7 на степени двойки:

1	7
2	14
4	28
8	56
16	112

Поскольку 25 = 16 + 8 + 1, соответствующие умножения их на 7 и сложение даёт 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175.

Умножение русских крестьян

В методе умножения русских крестьян степени двойки в разложении одного из множителей находятся путём выписывания его слева и процесса последовательного деления пополам очередного числа в левом столбце. Остаток отбрасывается, и процесс продолжается, пока значение не станет равным 1 (или −1, в этом случае в конце сумму вычитают). При этом правый столбец последовательно увеличивается в два раза, как и в предыдущем методе. Строки с чётными числами в левом столбце вычёркиваются, а оставшиеся числа в правом столбце складываются.

Пример

238 × 13 = ?

13		238
6	(остаток отбрасывается)	476
3		952
1	(остаток отбрасывается)	1904

13	238
6	476
3	952
1	+1904
	3094

См. также

• Египетские дроби
• Математика в Древнем Египте
• Алгоритмы умножения
• Двоичная система счисления
• Книга Ведическая математика Бхарати Кришны

Литература

Другие источники

• Carl B. Boyer. A History of Mathematics. — New York: John Wiley, 1968.
• Kevin S. Brown. Egyptian Unit Fractions. // The Akhmin Papyrus. — 1995.
• Maxim Bruckheimer, Y. Salomon. Some Comments on R. J. Gillings' Analysis of the 2/n Table in the Rhind Papyrus // Historia Mathematica. — 1977. — Вып. 4. — С. 445–52.
• Evert M. Bruins. Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken.. — Leiden: E. J. Brill., 1953.
• Platon et la table égyptienne 2/n, // Janus. — 1957. — Вып. 46. — С. 253–63.
• Evert M Bruins. Egyptian Arithmetic // Janus. — 1981. — Вып. 68. — С. 33–52.
• Reducible and Trivial Decompositions Concerning Egyptian Arithmetics // Janus. — 1981. — Вып. 68. — С. 281–97.
• David M. Burton. History of Mathematics: An Introduction.. — Boston: Wm. C. Brown, 2003.
• Arnold Buffum Chace, et al. The Rhind Mathematical Papyrus. — Oberlin: Mathematical Association of America, 1927.
• Roger Cooke. The History of Mathematics. A Brief Course.. — New York: John Wiley & Sons, 1997.
• Sylvia Couchoud. Mathématiques égyptiennes // Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique.. — Paris,: Le Léopard d'Or, 1993.
• Georges Daressy. Akhmim Wood Tablets // Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale. — 1901. — С. 95–96.
• Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. — New York: Holt, Rinehard & Winston, 1961.
• David H. Fowler. The mathematics of Plato's Academy: a new reconstruction. — Oxford Univ. Press, 1999.
• Alan H. Gardiner. Egyptian Grammar being an Introduction to the Study of Hieroglyphs. — Oxford University Press, 1957.
• Milo Gardner. The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term // in History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds). — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. — С. 119-34.
• Mathematical Roll of Egypt // Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. — Springer, 2005.
• Richard J. Gillings. The Egyptian Mathematical Leather Roll // Australian Journal of Science. — 1962. — С. 339–44. Reprinted in his (1972) Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. Reprinted by Dover Publications, 1982.
• The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It? // Archive for History of Exact Sciences. — 1974. — Вып. 12. — С. 291–98.
• The Recto of the RMP and the EMLR // Historia Mathematica. — Toronto, 1979. — Вып. 6. — С. 442–447.
• The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it? // Historia Mathematica. — 1981. — С. 456–57.
• Glanville S.R.K. The Mathematical Leather Roll in the British Museum // Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1927. — Вып. 13. — С. 232–8.
• Francis Llewelyn Griffith. The Petrie Papyri. Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom). — London: Bernard Quaritch, 1898. — Т. 1, 2.
• Battiscombe George Gunn. Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T. E. Peet // The Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1926. — Вып. 12. — С. 123–137.
• Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun // Übersicht über die Lehre von den Zerlegangen. — 1895. — Вып. 8. — С. 167-71.
• Annette Imhausen. Egyptian Mathematical Texts and their Contexts // Science in Context. — Cambridge (UK), 2003. — Вып. 16. — С. 367–389.
• George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock/the non-European Roots of Mathematics. — Princeton: Princeton University Press, 2000.
• Victor Klee, Stan Wagon. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. — Mathematical Association of America, 1991.
• Wilbur R. Knorr. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece // Historia Mathematica. — Berlin, 1982. — Вып. 9. — С. 133–171.
• John A.R. Legon. A Kahun Mathematical Fragment // Discussions in Egyptology. — Oxford, 1992. — Вып. 24.
• Lüneburg H. Zerlgung von Bruchen in Stammbruche // Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: Wissenschaftsverlag, 1993. — С. 81=85.
• Otto E. Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. — 2. — Dover Publications, 1969. — ISBN 978-0-486-22332-2.
• Gay Robins, Charles Shute. The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text. — London: British Museum Press, 1987.
• Roero C. S. Egyptian mathematics // Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences / I. Grattan-Guinness (ed). — London, 1994. — С. 30–45.
• George Sarton. Introduction to the History of Science. — New York: Williams & Son, 1927. — Т. I.
• Scott A., Hall H.R. Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC // British Museum Quarterly. — London, 1927. — Т. 2, вып. 56.
• Sylvester J. J. On a Point in the Theory of Vulgar Fractions // American Journal of Mathematics. — Baltimore, 1880. — Вып. 3.
• Kurt Vogel. Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik. — Berlin: Julius Schuster, 1929. — Т. 2. — С. 386-407.
• van der Waerden, Bartel Leendert. Science Awakening. — New York, 1963.
• Hana Vymazalova. The Wooden Tablets from Cairo:The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt // Archiv Orientalai. — Prague: Charles U, 2002.

Ссылки

• http://rmprectotable.blogspot.com/ RMP 2/n table
• https://web.archive.org/web/20130625181118/http://weekly.ahram.org.eg/2007/844/heritage.htm
• http://emlr.blogspot.com Egyptian Mathematical Leather Roll
• https://web.archive.org/web/20120913011126/http://planetmath.org/encyclopedia/FirstLCMMethodRedAuxiliaryNumbers.html
• https://web.archive.org/web/20120606142257/http://planetmath.org/encyclopedia/RationalNumbers.html
• http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=6579539&tstart=0 Math forum and two ways to calculate 2/7
• New and Old classifications of Ahmes Papyrus
• Russian Peasant Multiplication
• The Russian Peasant Algorithm (pdf file)
• Peasant Multiplication from cut-the-knot
• Egyptian Multiplication by Ken Caviness, The Wolfram Demonstrations Project.
• Russian Peasant Multiplication at The Daily WTF
• Michael S. Schneider explains how the Ancient Egyptians (and Chinese) and modern computers multiply and divide