Множество раздела

Множество раздела точки $p$ в римановом многообразии $M$ — подмножество точек $\operatorname {C} _{p}\subset M$, через которые не проходит ни одна кратчайшая из $p$.

Множество раздела также называется катлокус, от англ. cut locus.

Примеры

• Множество раздела точки $p$ стандартной сферы состоит из точки, противоположной $p$.
• Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства

• Множество раздела — замкнутое множество.
• Множество раздела имеет нулевой объём.
• Подмножество $M\backslash \operatorname {C} _{p}$ диффеоморфно шару.
• Если между точками $p$ и $q$ существуют две различные кратчайшие, то $p\in \operatorname {C} _{q}$ и $q\in \operatorname {C} _{p}$.
• Если $p\in \operatorname {C} _{q}$ и кратчайшая $\gamma$ между точками $p$ и $q$ единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении $\gamma$.
• Если $M$ — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела $\operatorname {C} _{p}$ допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
  • Без аналитичности $M$ множество $\operatorname {C} _{p}$ может быть даже нетриангулируемым.
• Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.

См. также

• Срединная ось

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб.: Наука, 1994. — 318 с.