Первая и вторая теоремы Хелли

Между функциями распределения $\left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\}$ и множеством их характеристических функций $\left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}$ существует взаимно однозначное соответствие.

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.

Первая и вторая теоремы Хелли

Первая теорема Хелли

Из всякой последовательности функций распределения $\left\{F_{x}\right\}$ можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Вторая теорема Хелли

Если $g\left(x\right)$ — непрерывная ограниченная функция на прямой и $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1,$ то

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)$

Доказательство первой теоремы Хелли

Пусть $D=\left\{x_{k}\right\}$ — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности $0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1$ выбираем сходящуюся подпоследовательность $F_{1n}\left(x_{1}\right)$, предел которой обозначим $F\left(x_{1}\right).$

Из ограниченной последовательности $0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1$ выбираем сходящуюся подпоследовательность $F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)$ и т. д.

Далее выбираем диагональную подпоследовательность $f_{nn}\left(x\right)$, для которой $F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ для любой точки $x_{k}\in D.$

По лемме отсюда вытекает $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Лемма

Если $F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ на всюду плотном на прямой множестве $D$, то $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Замечание

$F\left(x\right)$ может не быть функцией распределения. Например, если $F_{n}\left(x\right)=0$ при $x<n$ и $F_{n}\left(x\right)=1$ при $x\geq n,$ то $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$

Доказательство второй теоремы Хелли

Пусть $a<b$ — точки непрерывности $F\left(x\right)$.Докажем сначала, что

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$.

Пусть $\varepsilon >0$. Разделим $\left[a,b\right]$ точками непрерывности $a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b$ функции $F\left(x\right)$ на такие отрезки $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$, что $\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon$ для точек $x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]$.

Это сделать можно, так как $g\left(x\right)$ равномерно непрерывна на $\left[a,b\right]$, а точки непрерывности $F\left(x\right)$ расположены всюду плотно.

Определим ступенчатую функцию.

$g_{\varepsilon }\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)$ на $x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]$.

Тогда

$\left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left(x\right)\leq$

$\leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right]\right].$

где ${\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.$.

При $n\rightarrow \infty$ последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).$

Для доказательства

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)$

выберем $X>0$ таким, чтобы $F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$ и $1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$ и чтобы точки $\pm X$ были точками непрерывности $F\left(x\right).$

Тогда, так как $F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)$ можно выбрать $n_{0}$ таким, что при $n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}$ и $1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Оценим разность

$\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq$

$\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.$

На основании $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$ заключаем, что правая часть

$\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq$

$\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.$

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

См. также

• Прямая и обратная предельная теорема

Литература

• Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.