Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение

Пусть задано $\{X_{i}\}_{i\in I}$ — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории $C$. Объект $X$ категории $C$ вместе с семейством морфизмов $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$ является произведением семейства объектов $\{X_{i}\}_{i\in I}$, если для любого объекта $Y\in C$ и любого семейства морфизмов $f_{i}\colon \,Y\to X_{i}$ существует единственный морфизм $f\colon \,Y\to X$, для которого следующая диаграмма:

Universal product of the product

коммутативна для каждого $i\in I$ (то есть $\pi _{i}\circ f=f_{i}$). Морфизмы $\pi _{i}$ называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект $X$ вместе с семейством проекций $\{\pi _{i}\}_{i\in I}$ является произведением семейства объектов $\{X_{i}\}_{i\in I}$ тогда и только тогда, когда для любого объекта $Y\in C$ отображение

$\mathrm {Hom} _{C}(Y,X)\rightarrow \prod _{i\in I}\mathrm {Hom} _{C}(Y,X_{i}),\;f\mapsto \prod _{i\in I}(\pi _{i}\circ f)$

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают $X_{1}\times X_{2}$, при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм $f$ при этом иногда обозначается $\langle f_{1},f_{2}\rangle$.

Единственность результата операции $\langle -,-\rangle$ можно альтернативно выразить как равенство $\langle \pi _{1}\circ h,\pi _{2}\circ h\rangle =h$, верное для любых $h$.

Примеры

• В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
• В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
• В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
• В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
• Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из $a$ в $b$ существует тогда и только тогда (по определению), когда $a\geqslant b$ (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

Свойства

• Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: $a\times b\simeq b\times a.$
• Ассоциативность: $(a\times b)\times c\simeq a\times (b\times c)$
• Если в категории существует терминальный объект $\ 1$, то $a\times 1\simeq 1\times a\simeq a.$
• Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм $X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)$, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для $X\times (Y+Z)$ гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

$f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{j\in J}b_{j}$

порождает множество морфизмов

$f_{ij}\colon a_{i}\to b_{j}$

задаваемых по правилу $f_{ij}=\pi _{j}\circ f\circ \imath _{i}$ и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования $f_{ij}\colon a_{i}\to b_{j}$ задаёт единственный соответствующий морфизм $\scriptstyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{j\in J}b_{j}.$ Если в категории существует нулевой объект $0,$ то для любых двух объектов $x,y$ существует канонический нулевой морфизм: $0_{xy}:x\to 0\to y.$ В этом случае матрица преобразования $\scriptstyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{i\in I}a_{i}$, задаваемая по правилу

$f_{ij}=\left\{{\begin{matrix}0_{a_{j}a_{i}},~i\neq j\\\mathrm {id} _{a_{i}},~i=j\end{matrix}}\right.$

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств ${\mathcal {V}}ect_{f}$ копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также

• Копроизведение — понятие, двойственное произведению.
• Декартово замкнутая категория

Литература

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categpries and functors. — М.: Мир, 1972. — С. 39. — 259 с.
• Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• Жаринов В. В. Некоторые алгебро-геометрические методы в математической физике. — С. 8. — 82 с.