Парадокс лжеца

Парадокс лжеца — семейство логических парадоксов, классический вариант которого гласит

Я лгу

или, более точно,

Данное утверждение ложно.

Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием.

Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.

История

Схожие утверждения

Раннее утверждение, подобное парадоксу лжеца, приписывают полумифическому древнегреческому философу VII века до н. э. Эпимениду:

Эпименид: все критяне лжецы.

Поскольку Эпименид — критянин, утверждение схоже с парадоксом лжеца. Вопрос в том, каково отрицание высказывания «критяне всегда лгут»: если это «критяне никогда не лгут», то парадокс имеет место; если же «критяне не всегда лгут», как обычно считается в логике, то высказывание Эпименида просто ложно и никакого парадокса нет.

Этот парадокс даётся в Новом Завете у апостола Павла в Тит. 1:12-13

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые». Свидетельство это справедливо….

Античность

Сам парадокс лжеца был известен в Древней Греции IV века до н. э. Евбулид Милетский включил его в список своих семи софизмов в следующей формулировке:

Человек говорит, что он лжёт. То, что он говорит — истина или ложь?

Надпись на могиле Филита на острове Кос гласит:

О странник! Я Филит Косский,

И это лжец привёл к моей смерти,

И бессонные ночи из-за него.

Последователь Аристотеля Теофраст написал о парадоксе три папируса, а ранний стоик Хрисипп — шесть, но до нас они не дошли.

Средние века

Средневековый философ Жан Буридан использовал парадокс для доказательства бытия Бога. Он рассматривал два утверждения:

Бог существует.

Ни одно из этих двух утверждений не является истинным.

Если первое утверждение ложно, то получается парадокс, а потому, по мнению Буридана, оно должно быть истинно.

Разновидности

Классический парадокс

Рассмотрим следующее утверждение:

$FLiar$: Утверждение $FLiar$ ложно.

Если утверждение $FLiar$ истинно, то утверждение $FLiar$ ложно, противоречие. Если же оно ложно, то утверждение $FLiar$ не ложно, а значит истинно, противоречие. Последний шаг опирается на закон исключённого третьего, гласящий, что любое логическое утверждение или истинно, или ложно. Естественное решение — отрицание закона исключённого третьего — не работает в других вариантах парадокса лжеца.

Закон исключённого третьего

Рассмотрим следующее утверждение:

$ULiar$: Утверждение $ULiar$ не является истинным.

Если утверждение $ULiar$ истинно, то утверждение $ULiar$ не истинно, противоречие. Если же оно не истинно, то утверждение $FLiar$ истинно, противоречие. Такой вариант не использует закон исключённого третьего, тем не менее, утверждение ссылается само на себя.

Другая формулировка предполагает, что третий вариант, отличный от истинности или ложности — это бессмысленность:

$MLiar$: Утверждение $MLiar$ ложно или бессмысленно.

Логический цикл

Рассмотрим следующие утверждения:

$Plato$: Утверждение $Socrates$ ложно.

$Socrates$: Утверждение $Plato$ истинно.

Если $Plato$ истинно, то $Socrates$ ложно и $Plato$ не истинно, противоречие. Если $Plato$ ложно, то $Socrates$ не ложно и $Plato$ истинно, противоречие. Исправление ложности на неистинность и исправляет необходимость закона исключённого третьего аналогично предыдущему примеру. Такой вариант не использует отсылки утверждения к самому себе.

Возможны и циклы большей длины, например, такой:

$A$: Утверждение $B$ ложно.

$B$: Утверждение $C$ ложно.

$C$: Утверждение $A$ ложно.

Парадокс Карри

Основная статья: Парадокс Карри

Сначала рассмотрим следующее утверждение:

$DLiar$: Утверждение $DLiar$ не является истинным или $1=0$

Поскольку ложное утверждение $1=0$ не влияет на истинность $DLiar$, получаем противоречие аналогично классическому парадоксу лжеца.

Теперь рассмотрим похожее утверждение:

$Curry$: Если утверждение $Curry$ верно, то русалки существуют.

Это утверждение, называющееся парадоксом Карри, почти не отличается от предыдущего. Во-первых, одно ложное утверждение ($1=0$) заменено на другое (русалки существуют). Во-вторых, логическая функция «(не $A$) или $B$» заменена на функцию «из $A$ следует $B$», при том что значения пары переменных $A$ и $B$, при которых функция принимает значение истина, остались неизменны. Однако при этом появилась видимая на первый взгляд привязка к реальному миру.

Парадокс Ябло

Основная статья: Парадокс Ябло

Рассмотрим следующую бесконечную последовательность утверждений:

$Yablo_{1}$: Все утверждения $Yablo_{i}$ при $i>1$ являются ложными.

$Yablo_{2}$: Все утверждения $Yablo_{i}$ при $i>2$ являются ложными.

$Yablo_{3}$: Все утверждения $Yablo_{i}$ при $i>3$ являются ложными.

$\ldots$

Если $Yablo_{1}$ истинно, то ложны все $Yablo_{i}$ при $i>1$ и, в частности, ложно $Yablo_{2}$. Значит, существует такое $i>2$, что $Yablo_{k}$ истинно, противоречие. Если $Yablo_{1}$ ложно, то существует истинное $Yablo_{i}$ при $i>1$, а потому получаем противоречие аналогично первому случаю.

Эта бесконечная цепочка утверждений, называемая парадоксом Ябло, на первый взгляд не содержит отсылки на саму себя, хотя по этому поводу ведутся научные дискуссии.

Парадокс Пиноккио

У Пиноккио имелось свойство: когда он лгал (говорил неправду), его нос тут же заметно увеличивался.

Что будет, если Пиноккио скажет: «Сейчас у меня удлинится нос»?

Если нос не увеличится — значит, мальчик соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, мальчик сказал правду, но тогда почему вырос нос?

Попытки решения парадокса

Фрэнк Рамсей парадокс лжеца (в виде «Я сейчас лгу») рассматривал как лингвистический, относил к классу семантических, а не теоретико-множественных:

...противоречия группы В не являются чисто логическими и не могут быть сформулированы в одних логических терминах, ибо все они содержат некоторую отсылку к мысли, языку или символизму, которые являются не формальными, но эмпирическими терминами. Поэтому своим возникновением они могут быть обязаны не ошибочной логике или математике, но ошибочным идеям, касающимся мысли и языка.

Ряд других авторов часто пытаются решить парадокс именно логико-математическими средствами. Альфред Тарский пытался с помощью своей логико-математической теории для переформулировать парадокс с бытового языка на некий формальный язык, имеющий однозначную логическую структуру.

См. также

• Парадокс Рассела
• Парадокс Карри
• Самореференция
• Софизм
• Апория

Источники

• Beall, Jc; Glanzberg, Michael. Liar Paradox (англ.) // Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2016.
• Dowden, Bradley. Liar Paradox (англ.) // Internet Encyclopedia of Philosophy. — 2018.

Литература

• Смоленов Х. О парадоксе «лжец» и о семантически замкнутых системах // Научные доклады высшей школы. Философские науки. — 1980. — № 5. — С. 126—131.
• Слинин Я. А. Реконструкция одной античной формулировки парадокса «Лжец» // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке". Ч. 2. — СПб., 1994. — С. 33—35.
• Черепанов С. К. Лгу, следовательно, высказываюсь // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. — СПб., 2000. — С. 546—549. — ISBN 5-288-02703-X.
• Бахтияров К. И. Парадокс «Лжец» и достоверность истины // Бахтияров К. И. Логика с точки зрения информатики: бестселлер в духе Льюиса Кэрролла (12 этюдов). — М., 2002. — С. 50—57. — ISBN 5-354-00089-0.
• Вольнов В. В. Ох, уж эти парадоксы // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. — СПб., 2002. — С. 220—223. — ISBN 5-288-03115-0.
• Полушин А. С. «Лжец», герцог софизмов // Логико-философские штудии-2. — СПб., 2003. — С. 264—268. — ISBN 5-93597-056-2.
• Prior, Arthur. "Epimenides the Cretan, " Journal of Symbolic Logic, 23 (1958), 261—266.
• Martin, Robert. The Paradox of the Liar, Yale University Press, Ridgeview Press, 1970. 2nd ed. 1978.
• Barwise J., Etchemendy, J. The Liar. — New York: Oxford University Press, 1984.
• Visser A. Semantics and the liar paradox // Handbook of Philosophical Logic. Vol. IV. — Dordrecht: Kluwer, 1989. — P. 617—706.
• Hajek P., Paris J., Shepherdson J. The liar paradox and fuzzy logic // Journal of Symbolic Logic. — 2000. — № 65. — P. 339—346.
• Betti, Arianna. 2004. «Lesniewski’s Early Liar, Tarski and Natural Language.» Annals of Pure and Applied Logic no. 127:267-287.
• Ahad Faramarz Qaramaleki. The Liar Paradox in Shīrāz Philosophical School // Ишрак : ежегодник исламской философии : 2014. № 5 = Ishraq : Islamic Philosophy Yearbook : 2014. No. 5. — М. : Вост. лит., 2014. — С.41-52 ISBN 978-5-02-036569-8