Теорема Менелая: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Adavyd (обсуждение | вклад) м Защитил страницу Теорема Менелая: повторяющиеся неконсенсусные правки ([Редактирование=только автоподтверждённые] (истекает 13:53, 22 января 2020 (UTC)) [Переименование=только автоподтверждённые] (истекает 13:53, 22 января 2020 (UTC))) |
→Ссылки: Добавлено: Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. |
||
Строка 62: | Строка 62: | ||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
||
* {{книга |автор=Ефремов Д. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm |заглавие=Новая геометрия треугольника |место=Одесса |год=1902 |страниц=334}} |
* {{книга |автор=Ефремов Д. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm |заглавие=Новая геометрия треугольника |место=Одесса |год=1902 |страниц=334}}h |
||
* {{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).| ссылка = https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=199934| место = Москва | издательство = Ленанд"| год = 2015| страниц = 352 | isbn = 978-5-9710-2186-5}} |
|||
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}} |
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}} |
||
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|73-74|1}} |
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|73-74|1}} |
Версия от 11:54, 16 февраля 2020
Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.
Формулировка
Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда
где , и обозначают отношения направленных отрезков.
Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то
- .
Так как подобными являются также треугольники и , тем самым
- .
Исключая , получаем
- .
Остаётся заметить, что возможны два расположения точек и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем
Замечания
- В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
Вариации и обобщения
- Тригонометрический эквивалент:
- , где все углы — ориентированные.
- В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
- В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
История
Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]
Применения
- Теорема Сальмона
- Многие теоремы проективной геометрии, например Теорема Паппа и Теорема Дезарга доказываются многократным применением теоремы Менелая.
См. также
Примечания
- ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
- ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
Ссылки
- Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с.h
- Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд", 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
- Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0.
- Шаль, Мишель. О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
- Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.