Замкнутое множество: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Asqueella (обсуждение | вклад) Замкнутость откровенно неудачный disambiguation page; заменил на Замыкание, оттуда хотя бы можно попасть на алгебраически замкнутое множество (Замыкание (алгебра)) |
мНет описания правки Метки: отменено редактор вики-текста 2017 |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{ |
{{значения3|Замкнутость|Замыкание}} |
||
'''За́мкнутое мно́жество''' — подмножество пространства, [[разность множеств|дополнение]] к которому [[открытое множество|открыто]]. |
'''За́мкнутое мно́жество''' — подмножество пространства, [[разность множеств|дополнение]] к которому [[открытое множество|открыто]]. |
||
Версия от 12:08, 15 декабря 2020
За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.
Определение
Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое, что .
Замыкание
Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество , содержащее .
Замыкание множества обычно обозначается , или ; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что рассматривается как множество в пространстве .
Свойства
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда .
Примеры
- Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
- Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
- Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .
Вариации и обобщения
- Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества [1].
См. также
Примечания
- ↑ Александров П. С., Пасынков В. А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.
Литература
- Завало С. Т. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 575 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
- Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: Наука, 1954.