Комплексная амплитуда: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
DragonBot (обсуждение | вклад) м робот добавил: pl:Wskaz |
MoToRR (обсуждение | вклад) |
||
Строка 40: | Строка 40: | ||
{{Формула |
{{Формула |
||
|<math> |
|<math> |
||
\Re(\hat A\;) = \cos {(\phi)}, \quad |
\Re(\hat A\;) = A\cos {(\phi)}, \quad |
||
\Im(\hat A\;) = -\sin {(\phi)} |
\Im(\hat A\;) = -A\sin {(\phi)} |
||
</math> |
</math> |
||
| |
| |
Версия от 12:30, 27 ноября 2008
Компле́ксная амплитуда — комплексное число, характеризующее амплитуду и фазу гармонического сигнала при его комплексном представлении.
Определение
Пусть, имеется гармонический сигнал:
((1)) |
В комплексном виде данный сигнал будет иметь вид:
( ) |
здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:
( ) |
Физический смысл
Смысл компонент комплексной амплитуды зависит от способа ее представления:
Алгебраическая форма
Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:
( ) |
где
( ) |
Тригонометрическая форма
Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала .
Операции над комплексной амплитудой
К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:
- умножение комплексной амплитуды на константу
- сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
- вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
- интегрирование комплексной амплитуды по времени
- дифференцирование комплексной амплитуды по времени
приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.
Ограничения
Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:
- принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
- меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).
Применение
Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:
- Характеризует и амплитуду, и фазу
- Не содержит зависимости от времени
- Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе
Использование комплексной амплитуды и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче рассмотрения цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).