Компактификация: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Mercury (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
м робот добавил: zh:紧化 |
||
Строка 22: | Строка 22: | ||
[[it:Compattificazione]] |
[[it:Compattificazione]] |
||
[[pl:Uzwarcenie przestrzeni]] |
[[pl:Uzwarcenie przestrzeni]] |
||
[[zh:紧化]] |
Версия от 05:52, 7 июня 2009
В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, гомеоморфизм на свой образ и плотно в .
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок. Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, достаточно, чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости .
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно.
Примеры одноточечной компактификации
с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соотвествующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с . Аналогично, гомеоморфно c -мерной гиперсферой.
Примечания
- ↑ Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».