Гиперсфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стереографическая проекция поверхности 3-сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3-сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.
Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфера — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

  • при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
  • при она представляет собой окружность;
  • при гиперсфера является сферой.
  • при гиперсфера является 3-сферой.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения[править | править вики-текст]

Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

Гиперсферические координаты[править | править вики-текст]

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

а сферические координаты так:

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

Якобиан этого преобразования равен

Площадь и объём[править | править вики-текст]

Площадь поверхности гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.
Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Площадь поверхности гиперсферы размерности и объём , ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:

где

а  — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

Здесь  — двойной факториал.

Так как

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для и , соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность 1 (длина) 2 (площадь) 3 (объём) 4 5 6 7 8
Единичная

сфера

Десятичная

запись

6.2832 12.5664 19.7392 26.3189 31.0063 33.0734 32.4697 29.6866
Единичный

шар

Десятичная

запись

2.0000 3.1416 4.1888 4.9348 5.2638 5.1677 4.7248 4.0587

Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.

Топология гиперсферы[править | править вики-текст]

В данном разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром  — n-мерный гипершар, то есть , .

  • Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
  • Шар гомеоморфен факторизации .
  • Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
  2. Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]