Единичная окружность

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства ($n>2$). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для всех точек на окружности действительно согласно с теоремой Пифагора: $x^{2}+y^{2}=1$.

Не путайте термины «окружность» и «круг»!

• Окружность — геометрическое место точек, расположенное на данном расстоянии от данной точки, на одной плоскости — кривая.
• Круг — геометрическое место точек, расположенное не дальше чем окружность, на одной плоскости — фигура.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции, сконструированные геометрически к углу θ в единичном кругу.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку $(x,y)$ на единичной окружности с началом координат $(0,0)$, мы получаем отрезок, находящийся под углом $\alpha$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

$\cos \alpha =x$

$\sin \alpha =y$

Подставив эти значения в выше указаное уравнение $x^{2}+y^{2}=1$, мы получаем:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

Обратите внимание на общепринятое написание $\cos ^{2}x=(\cos x)^{2}$.

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin(x+2\pi k)=\sin(x)$

$\cos(x+2\pi k)=\cos(x)$

для всех целых чисел $k$.

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичную окружность описывает множество $G\subset \mathbb {C}$:

$G=\{z:Re\{z\}^{2}+Im\{z\}^{2}=1\}\quad =\quad \{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}$

Множество $G$ удоволетворяет условиям мультипликативной группы (с нейтральным элементом $e^{i0}=1$).

См. также

• Единичная сфера
• Единичный квадрат
• Единичный куб