Симплектическое многообразие

Линейное пространство V (вещественное или комплексное) называется симплектическим, если на нем задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма $\omega$.

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Определение

Дифференциальная 2-форма $\omega$ называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

$d\omega =0$

и для любого касательного вектора $v\in T_{x}M$

$\imath _{v}\omega \neq 0$

где $\imath _{v}$ — внутреннее умножение на вектор $v$.

Многообразие $M$ называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.

Гамильтоновы векторные поля

Пусть $H\colon M\to {\mathbb {R} }$ — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на $M$ особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу

$dH=\imath _{v}\omega$

В силу невырожденности формы $\omega$ векторное поле $v$ определено однозначно, обозначим его $IdH$. В канонических координатах это отображение принимает вид

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}$

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}$

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом $H$ называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на $M$ в алгебру Ли и определены по правилу

$[F,G]=\omega (IdF,IdG)$

Связанные определения

• Диффеоморфизм симплектических многообразий $f\colon M\to N$ называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

Свойства

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать канонические координаты, называемые также координатами Дарбу, в которых симплектическая структура принимает вид

$\omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q}$

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:

$\ L_{IdH}\,\omega =0$

Здесь $L_{v}$ — производная Ли по векторному полю $v$. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени $k$, если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также

• Симплектическое пространство

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.