Касательный вектор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой[править | править вики-текст]

  • Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в ней: .

Касательным вектором к графику функции в точке называется вектор с компонентами

  • .
  • Если функция имеет в точке бесконечную производную то касательный вектор
    .

Общее определение[править | править вики-текст]

Касательным вектором к гладкому многообразию в точке называется оператор , сопоставляющий каждой гладкой функции число и обладающий следующими свойствами:

  • аддитивность:
  • правило Лейбница:

Множество всех таких операторов в точке имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

.

Совокупность всех касательных векторов в точке образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке . Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей[править | править вики-текст]

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь :

.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь , который его касается в момент времени t0:

.

Касание двух путей и означает, что ; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию[править | править вики-текст]

Касательный вектор в точке гладкого подмногообразия евклидова пространствавектор скорости в точке некоторой кривой в .

Иначе говоря, касательный вектор в точке подмногообразия, локально заданного параметрически

с ,

есть произвольная линейная комбинация частных производных .

Замечания[править | править вики-текст]

  • Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости .
  • Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в . Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература[править | править вики-текст]

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.