Компактификация: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
В [[общая топология|общей топологии]] '''компактификация''' |
В [[общая топология|общей топологии]] '''компактификация''' — операция, которая преобразует произвольные [[топологическое пространство|топологические пространства]] в компактные. |
||
Формально компактификация пространства <math>X</math> определяется как пара <math>(Y,f)</math>, где <math>Y</math> компактно, <math>f:X \to Y</math> |
Формально компактификация пространства <math>X</math> определяется как пара <math>(Y,f)</math>, где <math>Y</math> компактно, <math>f:X \to Y</math> [[гомеоморфизм]] на свой образ <math>f(X)</math> и <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>. |
||
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. Положим <math>f_1 \leq f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>. Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм|гомеоморфизма]]) элемент в этом порядке называется '''компактификацией Стоуна-Чеха''' и обозначается <math>\beta X</math>. Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>. |
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. Положим <math>f_1 \leq f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>. Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм|гомеоморфизма]]) элемент в этом порядке называется '''компактификацией Стоуна-Чеха''' и обозначается <math>\beta X</math>. Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>. |
||
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация Александрова''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y, f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]]. |
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация Александрова''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y, f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]]. |
||
== Примеры одноточечной компактификации == |
== Примеры одноточечной компактификации == |
Версия от 15:54, 13 октября 2007
В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, гомеоморфизм на свой образ и плотно в .
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок. Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна-Чеха и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, достаточно, чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости .
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно.
Примеры одноточечной компактификации
с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соотвествующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, т.к. окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с (пример гомеоморфизма - стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с . Аналогично, гомеоморфно c n-мерной гиперсферой.