Функция Мёбиуса: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
м уточнение |
|||
Строка 85: | Строка 85: | ||
=== Связь с классической функцией Мёбиуса === |
=== Связь с классической функцией Мёбиуса === |
||
Если взять в качестве <math>A</math> множество натуральных чисел, приняв за отношение <math>a \prec b</math> отношение <math>a \mid b \land a \not = b</math>, то получим <math>{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)</math>, где <math>\mu</math> - классическая |
Если взять в качестве <math>A</math> множество натуральных чисел, приняв за отношение <math>a \prec b</math> отношение <math>a \mid b \land a \not = b</math>, то получим <math>{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)</math>, где <math>\mu</math> - классическая функция Мёбиуса. |
||
Это, в частности означает, что <math>\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)</math>, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества <math>\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0</math>, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по [[Булеан|булеану]] его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана. |
Это, в частности означает, что <math>\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)</math>, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества <math>\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0</math>, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по [[Булеан|булеану]] его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана. |
Версия от 21:23, 18 ноября 2015
Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.
Определение
определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:
- , если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
- , если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
- , если не свободно от квадратов.
По определению также полагают .
Свойства и приложения
- Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство .
- Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
- где n - положительное целое число.
- Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:
- .
Ряд абсолютно сходится при , на прямой - сходится условно, в области утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ряд заведомо не сходится, даже условно.
При справедлива также формула:
- где p - простое число.
- Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана
- Справедливы асимптотические соотношения:
- при
- ,
из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна , а плотность множества единиц (или минус единиц) - . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций и ,
тогда и только тогда, когда
- .
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций и , определённых при ,
тогда и только тогда, когда
- .
Здесь сумма интерпретируется как .
Обобщённая функция Мёбиуса
Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.
Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения . Будем считать, что .
Определение
Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно опредляется соотношением.
Формула обращения
Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве и выполнено условие .
Тогда
Связь с классической функцией Мёбиуса
Если взять в качестве множество натуральных чисел, приняв за отношение отношение , то получим , где - классическая функция Мёбиуса.
Это, в частности означает, что , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.
См. также
Литература
- Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
- Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.
Ссылки
- Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
- Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
- Обобщённая формула обращения Мёбиуса