Закон смещения Вина

Кривые зависимостей cпектральной плотности излучения абсолютно чёрных тел с различными температурами от длины волны. Видно, что при возрастании температуры максимум спектральной плотности сдвигается в коротковолновую часть спектра. Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на устанавливает зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.Также этот закон в основном опирается на закон Стефана Больцмана .

Общий вид закона смещения Вина

$\lambda _{max}=b/T,$

где $\lambda _{max}$ — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а $T$ — температура. Коэффициент $b={ch \over k\alpha }$ (где c — скорость света в вакууме, h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения ${\frac {\alpha }{3}}=1-e^{-\alpha }$)), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света $\nu$ (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

$\nu _{\max }={\alpha \over h}kT\approx (5,879\times 10^{10}\ \mathrm {)} \cdot T,$

где α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения ${\frac {\alpha }{3}}=1-e^{-\alpha }$), k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

$B(\lambda ,T)={2hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по $\lambda$ и приравнять производную нулю:

${\partial B \over \partial \lambda }={\frac {2hc}{\lambda ^{6}}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\left({hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5\right)=0$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда $\lambda \rightarrow \infty$ или когда $e^{hc/\lambda kT}\rightarrow \infty$, что выполняется при $\lambda \rightarrow 0$. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка $B(\lambda )$, которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

${hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5=0$

Используя замену переменных $x={hc \over kT\lambda }$, данное уравнение можно преобразовать к виду

${xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.$

Численное решение этого уравнения даёт:

$x=4.965114231744276\ldots$

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

$\lambda _{\max }={hc \over x}{1 \over kT}={2.89776829\ldots \times 10^{-3} \over T},$

где температура дана в кельвинах, а $\lambda _{\max }$ — в метрах.

Примеры

Согласно закону смещения Вина чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

См. также

• Абсолютно чёрное тело
• Закон излучения Планка
• Закон Стефана — Больцмана

Литература

• B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision, " Am. J. Phys. 67 (11), 946—953 1999.
• M. A. Heald, «Where is the 'Wien peak'?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322—1323 2003.

Ссылки

• Мир физики Эрика Вейстейна