W-функция Ламберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

-функция Ламберта определяется как обратная функция к , для комплексных . Обозначается или . Для любого комплексного она определяется функциональным уравнением:

-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История[править | править вики-текст]

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779 года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»[1].

Многозначность[править | править вики-текст]

Две главные ветви функции и
График W0(x) для −1/ex ≤ 4

Поскольку функция не является инъективной на интервале , является многозначной функцией на . Если ограничиться вещественными и потребовать , будет определена однозначная функция .

Асимптотики[править | править вики-текст]

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

Другие формулы[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при :

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

Значения в некоторых точках[править | править вики-текст]

(постоянная Омега)

Решение уравнений с помощью W-функции[править | править вики-текст]

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример:

, следовательно, .

Пример:

Обозначим , тогда , отсюда и окончательно .

Обобщенные применения W-Функции Ламберта[править | править вики-текст]

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

где a0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является . Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции Ламберта:[2][3][4]

и где константы r1 и r2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а ri и ao являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда r1 = r2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.
  • Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода[6]. В этом случае, правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:
где ri и si константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики[7].

Вычисление[править | править вики-текст]

-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения[1]:

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in xrange(100):
        wTimesExpW = w*math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
            break
    if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
        raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу[8]: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.
  2. T. C. Scott, R. B. Mann (2006). «General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function». AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1): 41–47. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
  3. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). «Asymptotic series of Generalized Lambert W Function». SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185): 75–83.
  4. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Zhang (2014). «Numerics of the Generalized Lambert W Function». SIGSAM 48 (188): 42–56.
  5. P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott (2007). «N-body Gravity and the Schrödinger Equation». Class. Quantum Grav. 24 (18): 4647–4659. DOI:10.1088/0264-9381/24/18/006.
  6. T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). «New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion». Chem. Phys. 324: 323–338. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
  7. T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). «The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions». Phys. Rev. A 75: 060101. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.
  8. Double precision function LAMBERTW(X) в пакете QCDINS