|
|
Строка 57: |
Строка 57: |
|
Или <math>\ b^2=2W^2\cdot( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4)</math> |
|
Или <math>\ b^2=2W^2\cdot( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4)</math> |
|
|
|
|
|
Отсюда <math>\ 32 W^6 +16aW^4+4(a^2-4c) W^2-b^2=0</math> |
|
Отсюда <math>\ 32 W^6 +16aW^4+2(a^2-4c) W^2-b^2=0</math> |
|
|
|
|
|
Заменяя <math>\ y=W^2</math> получаем резольвенту, решив которую, находим W |
|
Заменяя <math>\ y=W^2</math> получаем резольвенту, решив которую, находим W |
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.
Описание метода
Пусть уравнение 4-й степени имеет вид
.
|
(1)
|
Если — произвольный корень кубического уравнения
|
(2)
|
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
-
- Два ±s — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±t будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±s и ±t: «+,+»; «+,−»; «−,+» и «−,−». Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.
Вывод
Пусть имеется уравнение канонического вида:
Обозначим корни уравнения как .
Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение
Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это
Причём , — действительные числа.
Тогда два других корня можно записать как
Здесь может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом.
Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя получаем резольвенту, решив которую, находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
См. также
Ссылки