Abc-гипотеза: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Доказательство Мотидзуки: добавил утверждение Шольце и Стикса об ошибке, удалил уже несущественные подробности о 2012-2013 годах |
м →Формулировка: оформление |
||
Строка 27: | Строка 27: | ||
== Формулировка == |
== Формулировка == |
||
Для любого <math>\varepsilon>0</math> существует постоянная <math>K(\varepsilon)</math>, при которой для любых трёх [[Взаимно простые числа|взаимно простых]] целых чисел <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, таких, что <math>a+b=c</math>, выполняется неравенство |
Для любого <math>\varepsilon>0</math> существует постоянная <math>K(\varepsilon)</math>, при которой для любых трёх [[Взаимно простые числа|взаимно простых]] целых чисел <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, таких, что <math>a+b=c</math>, выполняется неравенство |
||
:<math>\max(|a|,|b|,|c|)\leqslant K(\varepsilon)\cdot \ |
:<math>\max\big(|a|, |b|, |c|\big) \leqslant K(\varepsilon) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon},</math> |
||
где <math>\operatorname{rad}(abc)</math> — [[радикал целого числа]]. |
где <math>\operatorname{rad}(abc)</math> — [[радикал целого числа]]. |
||
Версия от 05:48, 22 сентября 2018
abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].
Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел; статус этой проблемы в настоящее время спорный.
Формулировка
Для любого существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство
где — радикал целого числа.
Замечания
- Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа , и . Тогда неравенство сводится к следующему:
- Условие необходимо. Для любого существует тройка взаимно простых чисел таких, что . Например тройка вида , где .
Доказательство гипотезы Била
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].
Согласно гипотезе Била, если (, , , , , — натуральные и ), то , , имеют общий делитель.
Докажем гипотезу Била для достаточно больших от противного. Предположим, существует бесконечное количество , для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:
Учтём, что . Поэтому:
Поскольку из условий теоремы очевидно, что и , то . Тогда:
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на , получим ограничение сверху на величину :
- , (*)
причём, отношение должно быть конечным, поскольку, по условию , , — натуральные (то есть )
Таким образом, можно найти некоторое конечное значение , для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ошибочно. Для оставшегося конечного количества справедливость гипотезы Била можно доказать численно.
Доказательство гипотез Пиллаи и Каталана
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
Доказательство Мотидзуки
В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[4][5].
Опубликовав доказательство, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Он публикует отчёты о ходе этой работы[6]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[7]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[8].
Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[8][9] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).
В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки имеется непоправимая ошибка[10].
См. также
Примечания
- ↑ D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
- ↑ J. Oesterlé. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179.
- ↑ R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436-1437.
- ↑ "Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы". Lenta.ru. 2012-09-11. Дата обращения: 11 сентября 2012.
- ↑ Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
- ↑ IUTeich Verification Report 2013-12, IUTeich Verification Report 2014-12
- ↑ «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. // Lenta.ru, 2015-10-08
- ↑ 1 2 Timothy Revell. Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’ . New Scientist (7 сентября 2017). Дата обращения: 8 декабря 2017.
- ↑ Caroline Chen. The Paradox of the Proof (4 мая 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства (17 июня 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016.
- ↑ Klarreich, Erica (2018-09-20). "Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture". Quanta. Дата обращения: 21 сентября 2018.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Лекции про ABC-гипотезу: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4 (by Keith Conrad).
Литература
- Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.