Сходимость в Lp
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Сходи́мость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.
Определение[править | править код]
Пусть — пространство с мерой. Тогда пространство измеримых функций, таких что их -я степень, где , интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:
- .
Пусть дана последовательность . Тогда говорят, что эта последовательность сходится в к функции , если она сходится в метрике, определённой выше, то есть
- .
Пишут: . Иногда также используют обозначение — от англ. англ. limit in mean .
В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин сходится к из того же пространства, если
- .
Пишут: .
Терминология[править | править код]
- Сходимость в пространстве называется сходимостью в среднем.
- Сходимость в пространстве называется сходимость в среднеквадратичном.
Свойства сходимости в Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle L^p} [править | править код]
- Единственность предела. Если и , то -почти всюду (-почти наверное).
- Пространство полно. Если при , то существует , такой что .
- Сходимость в влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f} , то .