Тензорное расслоение

Тензорное расслоение типа $(p,\;q)$ на дифференцируемом многообразии $M$ — векторное расслоение $T^{p,\;q}(M)$ над $M$, ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ тензоров типа $(p,\;q)$ на $\mathbb {R} ^{n}$, в котором группа $GL(n,\;\mathbb {R} )$ действует при помощи тензорного представления. Например, $T^{1,\;0}(M)$ совпадает с касательным расслоением $T(M)$ над $M$, a $T^{0,\;1}(M)$ — с кокасательным расслоением $T(M)^{*}$.

В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

$T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,T(M)^{*}.$

Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа $(p,\;q)$, которые называются тензорными полями типа $(p,\;q)$ и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на $M$ — это гладкое сечение расслоения $T^{0,\;2}(M)$, значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.

Гладкие сечения расслоения $T^{p,\;q}(M)$ образуют модуль $D^{p,\;q}(M)$ над алгеброй $F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)$ гладких функций на $M$. Если $M$ — паракомпактное многообразие, то

$D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},$

где $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ — модуль гладких векторных полей, $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над $F^{\infty }(M)$.

В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на $M$.

Литература

• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — М.: Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика). — ISBN 5-88688-076-3..