Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.
Пусть
— непустое полное метрическое пространство.
Пусть
— сжимающее отображение на
, то есть существует число
такое, что
для всех
из ![{\displaystyle \mathbb {X.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec4d7e3fa76b570ebba86fb5d6a9702f62dee92)
Тогда у отображения
существует, и притом единственная, неподвижная точка
из
(неподвижность
означает , что
)[1].
Число
часто называют коэффициентом сжатия.
Если число
равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.
Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства
и рассмотрим последовательность
.
Таким образом получим последовательность
.
Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:
![{\displaystyle d(x_{1},\,x_{2})=d(Tx,\,Tx_{1})\leqslant \alpha d(x,\,x_{1})=\alpha d(x,\,Tx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7371734fdfe9ae0ee067d6cbe3b625d988ebaca4)
![{\displaystyle d(x_{2},\,x_{3})=d(Tx_{1},\,Tx_{2})\leqslant \alpha d(x_{1},\,x_{2})\leqslant \alpha ^{2}d(x,\,Tx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b9bd7d23ad9835dcafa08db8f3ca7bc83a7ae8)
![{\displaystyle \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dbfc5796975effdfc4a5e30c7b0ce9e80e0d5f)
![{\displaystyle d(x_{n},\,x_{n+1})\leqslant \alpha ^{n}d(x,\,Tx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68343e093e012119d987ebf656ca5baef21cbb5)
По неравенству треугольника для
.
Так как по условию
, то
. Отсюда следует, что
при
и любом
.
Значит, последовательность
фундаментальна.
В силу полноты пространства
существует элемент
, являющийся пределом этой последовательности
.
Докажем, что
.
По неравенству треугольника,
. Так как
, то для любого
при достаточно большом
и
. Так как
произвольно, то отсюда следует, что
, то есть
, что и требовалось доказать.
Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия
. Предположим, что существуют два различных элемента
, такие, что
. Тогда
. Если допустить, что
, то из предыдущего следует, что
. Но это противоречит условию
. Таким образом, наше допущение что
неверно и
.
Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.
- Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.