Метод Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Якоби — разновидность метода простой итерации для решения системы линейных алгебраических уравнений. Назван в честь Карла Густава Якоби.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Возьмём систему линейных уравнений:

, где

Или

Описание метода[править | править вики-текст]

Для того, чтобы построить итеративную процедуру метода Якоби, необходимо провести предварительное преобразование системы уравнений к итерационному виду . Оно может быть осуществлено по одному из следующих правил:


где в принятых обозначениях означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы , а все остальные нули; тогда как матрицы и содержат верхнюю и нижнюю треугольные части , на главной диагонали которых нули,  — единичная матрица.

Тогда процедура нахождения решения имеет вид:

Или в виде поэлементной формулы:

где счётчик итерации.

В отличие от метода Гаусса-Зейделя мы не можем заменять на в процессе итерационной процедуры, так как эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Таким образом на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.

Условие сходимости[править | править вики-текст]

Приведем достаточное условие сходимости метода.

Logo arte.jpg Теорема.
Пусть . Тогда при любом выборе начального приближения :
  1. метод сходится;
  2. скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем ;
  3. верна оценка погрешности: .

Условие остановки[править | править вики-текст]

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:

(Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений)[источник не указан 2034 дня]


Алгоритм[править | править вики-текст]

Ниже приведён алгоритм реализации на С++

#include <math.h>
const double eps = 0.001; ///< желаемая точность 

..........................

/// N - размерность матрицы; A[N][N] - матрица коэффициентов, F[N] - столбец свободных членов,
/// X[N] - начальное приближение, ответ записывается также в X[N];
void Jacobi (int N, double** A, double* F, double* X)
{
	double* TempX = new double[N];
	double norm; // норма, определяемая как наибольшая разность компонент столбца иксов соседних итераций.

	do {
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			TempX[i] = F[i];
			for (int g = 0; g < N; g++) {
				if (i != g)
					TempX[i] -= A[i][g] * X[g];
			}
			TempX[i] /= A[i][i];
		}
        norm = fabs(X[0] - TempX[0]);
		for (int h = 0; h < N; h++) {
			if (fabs(X[h] - TempX[h]) > norm)
				norm = fabs(X[h] - TempX[h]);
			X[h] = TempX[h];
		}
	} while (norm > eps);
	delete[] TempX;
}

См. также[править | править вики-текст]