Сжимающее отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми двумя точками не менее чем в раз. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называемое «принципом сжимающих отображений», широко используется при доказательстве различных математических утверждений.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть на метрическом пространстве определён оператор . Он называется сжимающим на , если существует такое неотрицательное число , что для любых двух точек выполняется неравенство

.

Свойства[править | править вики-текст]

Непрерывность[править | править вики-текст]

Пусть  — метрическое пространство и  — сжимающий оператор на . Тогда  — непрерывная функция на .

Доказательство

Возьмём произвольный элемент . Надо доказать (по определению непрерывности функции), что для для . Для сжимающего оператора достаточно взять .

Неподвижная точка[править | править вики-текст]

По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

.

Итерационная последовательность[править | править вики-текст]

Если взять произвольный элемент метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов , то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора .

Применение[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Теорема Банаха о неподвижной точке

Ссылки[править | править вики-текст]

  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.