Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве $(\mathbb {M} ,d)$ определено отображение $A:\mathbb {M} \to \mathbb {M}$. Оно называется сжимающим на $\mathbb {M}$, если существует такое неотрицательное число $\alpha <1$, что для любых двух точек $x,y\in \mathbb {M}$ выполняется неравенство

${d(Ax,Ay)\leqslant \alpha \,d(x,y)}$.

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Свойства

• (Непрерывность) Пусть $\mathbb {} A$ — сжимающее отображение метрического пространства $(\mathbb {M} ,d)$. Тогда $\mathbb {} A$ — непрерывная функция на $\mathbb {M}$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

$\mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент $x$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов $x,Ax,A^{2}x,....$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения $A$.

Применение

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Ссылки

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.