Теорема Фенхеля — Моро

Функция, которая не полунепрерывна снизу. По теореме Фенхеля — Моро, эта функция не равна своей второй сопряжённой.

Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что $f^{**}\leqslant f$.

Утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы о биполяре. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через функцию возмущений).

Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году.

Утверждение теоремы

Пусть $(X,\tau )$ будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ следует, что $f=f^{**}$, где $f^{*}$ — выпуклое сопряжение к $f$, тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1. $f$ является собственной выпуклой функцией полунепрерывной снизу и выпуклой функцией,
2. $f\equiv +\infty$, или
3. $f\equiv -\infty$.

В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции.

Литература

• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — Т. 23, № 6(144). — С. 51–116.
• Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
• Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 2002. — ISBN 981-238-067-1.
• Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Май (vol. 103). — doi:10.2307/2047532.
• Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вып. 5.