Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке $f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ Тогда существуют $c,d\in \mathbb {R}$ такие, что

f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].

Замечания

Если функция $f$ постоянна, то $c=d.$
Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию $f:[0,1]\to \mathbb {R} ,$ заданную формулой
$f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0\end{matrix}}\right..$

Тогда функция

f

обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке

x=0.

Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функций

Пусть функция $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ — дифференцируемая внутри области определения, то есть $F\in {\mathcal {D}}{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ и $F'(x)=f(x),\;x\in (a,b),$ а также дифференцируема справа в точке $a$ : $F'_{+}(a)=f_{+}(a)$ и слева в точке $b$ : $F'_{-}(b)=f_{-}(b).$ Тогда $f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}$ является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).