Линейно связное пространство

Не следует путать со связным пространством и односвязным пространством.

Линейно связное подмножество евклидовой плоскости

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой $[0,1]\subset \mathbb {R}$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}}).$ Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек $x,y\in X$ найдётся непрерывное отображение $f:[0,1]\to X$ такое, что

  $f(0)=x,\;f(1)=y.$

• Пусть дано подмножество $M\subset X$. Тогда на нём естественным образом определяется топология ${\mathcal {T}}_{M}$, индуцированная ${\mathcal {T}}$. Если пространство $\left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)$ линейно связно, то подмножество $M$ также называется линейно связным в $X$.

Связанные определения

• Каждое линейно связное подмножество пространства $X$ содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства $X$.
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
• Если существует база топологии пространства $X$, состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства $X$ и само пространство $X$ (в этой топологии) называются локально линейно связными.

Примеры

Замыкание графика функции $\sin(1/x)$ — пример связного, но не линейно связного множества.

• Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств.
• Дополнение $\mathbb {R} ^{n}\backslash A,\ n\geqslant 2$, где $A$ — объединение не более чем счетного числа аффинных подпространств в $\mathbb {R} ^{n}$ коразмерности 2 и больше.
• Замыкание графика функции $\sin {\tfrac {1}{x}}$ при $x\geq 0$ — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок $[-1,1]$ на оси ординат.
• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверно.
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
• Если пространство $X$ линейно связно и $x,\;y\in X$, то гомотопические группы $\pi _{1}(X,\;x)$ и $\pi _{1}(X,\;y)$ изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма $\pi _{1}(X,\;x)$.

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что $X=\mathbb {R}$, а ${\mathcal {T}}$ — стандартная топология числовой прямой. Тогда

• Подмножество $M\subset \mathbb {R}$ линейно связно тогда и только тогда, когда

  $\forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},$

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  $(a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\;b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).$

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является $k$-связность (связность в размерности $k$). Пространство $X$ называется связным в размерности $k$, если любые два отображения $r$-мерной сферы $S^{r}$ в $X$, где $r\leqslant k$, гомотопны. В частности, $0$-связность — это то же, что линейная связность, а $1$-связность — то же, что односвязность.

Литература

• Фоменко, А. Т., Фукс, Д. Б. Курс гомотопической топологии (рус.). — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5-02-013929-7.
• Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М.. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.