Линейно связное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

  • Каждое линейно связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства .
    • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно не связным.
  • Если существует база топологии пространства , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально линейно связными.

Примеры[править | править код]

Пример связного, но не линейно связного множества.
  • Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств.
  • Замыкание графика функции  при — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок на оси ординат.
  • Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно не связного пространства.

Свойства[править | править код]

Линейная связность на числовой прямой[править | править код]

Будем считать, что , а  — стандартная топология числовой прямой. Тогда

  • Подмножество линейно связно тогда и только тогда, когда
то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
  • Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
  • Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение[править | править код]

Многомерным обобщением линейной связности является -связность (связность в размерности ). Пространство называется связным в размерности , если любое отображение -мерной сферы в , где , гомотопно постоянному отображению.

В частности, линейно связное пространство это 0-связное пространство, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.

Литература[править | править код]

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989