Трубчатая окрестность

Синим цветом нарисована кривая, зеленым — линии, ей перпендикулярные, красным — её трубчатая окрестность.

Трубчатая окрестность подмногообразия в многообразии — это открытое множество, окружающее подмногообразие и локально устроенное подобно нормальному расслоению.

Мотивация

В обозначениях статьи, синяя кривая — это подмногообразие S, красным обозначена её трубчатая окрестность T=j(N).

Поясним понятие трубчатой окрестности на простом примере. Рассмотрим на плоскости гладкую кривую без самопересечений. В каждой точке кривой построим линию перпендикулярную к этой кривой. Если кривая не является прямой, эти перпендикуляры могут пересекаться друг с другом весьма сложным образом. Тем не менее, если рассматривать очень узкую ленточку вокруг кривой, кусочки перпендикуляров, лежащих в ленточке, не пересекутся и покроют всю её без лакун. Такая ленточка и является трубчатой окрестностью кривой.

В общем случае рассмотрим подмногообразие $S\subset M$ многообразия M и N — нормальное расслоение к подмногообразию S в M. В этом случае S играет роль кривой, а M — роль плоскости, содержащей эту кривую. Рассмотрим естественное отображение

$i:N_{0}\rightarrow S$,

которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между нулевым сечением $N_{0}$ расслоения N и подмногообразием S из M. Пусть j — продолжение этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в многообразии M, причём j(N) является открытым множеством в M, а j — гомеоморфизмом между N и j(N). Тогда j называется трубчатой окрестностью.

Часто трубчатой окрестностью подмногообразия S называют не само отображение j, а его образ T=j(N), подразумевая тем самым существование гомеоморфизма j между множествами N и T.

Свойства

• Для замкнутого гладкого подмногообразия $N$ риманого многообразия, множество $N_{\varepsilon }$ точек на расстоянии $<\varepsilon$ от $N$ образует трубчатую окрестность $N$ при всех достаточно малых положительных значениях $\varepsilon$.

См. также

• Формула трубки

Литература

• М. Хирш Дифференциальная топология. — М: Мир, 1979.[1]