Формула Шарвина

Формула Шарвина
Названо в честь	Юрий Васильевич Шарвин
Дата публикации	1965
Определяющая формула	$R_{Sh}^{-1}={\frac {3\pi }{16}}{\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},$

Формула Шарвина — математическое выражение для сопротивления баллистического контакта в форме отверстия малого диаметра $d\ll l$ в непрозрачной для электронов перегородке, где $l$ — минимальная (относительно упругих или неупругих соударений) длина свободного пробега. Формула впервые была получена Юрием Васильевичем Шарвиным в 1965 году.

Качественное пояснение

Электрический контакт называют баллистическим, если его размеры существенно меньше длины свободного пробега $l$. Простейшей моделью такого контакта является модель круглого отверстия диаметром $d$, намного меньшим длины $l$, в бесконечно тонкой диэлектрической перегородке между двумя массивными металлами (берегами контакта), к которым приложена разность потенциалов V. Электроны, попавшие в отверстие, свободно проходят через него и создают электрический ток. Электроны, столкнувшиеся с перегородкой, отражаются назад в тот же берег и не участвуют в процессе проводимости. Шарвин заметил, что баллистическое сопротивление $R_{Sh}$ такого контакта определяется областью металла с характерным объёмом $d^{2}l$ и по порядку величины совпадает с сопротивлением цилиндра диаметром $d$ и длиной l:

$R_{Sh}^{-1}\sim \sigma {\frac {{d}^{2}}{l}}\sim {\frac {n{{e}^{2}}l}{{p}_{F}}}{\frac {{d}^{2}}{l}}={\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},$

(Ур. 1)

где $\sigma ={\frac {n{{e}^{2}}l}{{p}_{F}}}$ — удельная электропроводность металла, n — плотность носителей заряда в металле, e — заряд электрона, $p_{F}$ — Ферми-импульс. Формулу 1 часто называют сопротивлением Шарвина. Сопротивление (ур. 1) не зависит от длины свободного пробега и определяется только характеристиками электронного спектра и геометрией контакта.

Теория

Сопротивление Шарвина для произвольного закона дисперсии электронов в металле может быть вычислено с помощью решения кинетического уравнения Больцмана для квазиклассической функции распределения с граничным условием её равновесности вдали от контакта. В баллистическом пределе уравнение не содержит интегралов столкновений электронов с примесями, фононами и др. Результат вычислений в пределе малых напряжений (приближение закона Ома) имеет следующий вид:

${{R}_{Sh}^{-1}}={\frac {{{e}^{2}}{{S}_{c}}{{S}_{F}}}{{\left(2\pi \hbar \right)}^{3}}}\left\langle {\frac {{v}_{\parallel }}{v}}\right\rangle ,$

(Ур. 1)

где $S_{c}$ — площадь контакта произвольной формы, $S_{F}$ — площадь поверхности Ферми, $v_{\parallel }$и $v$ — параллельная оси контакта составляющая скорости электрона и её абсолютное значение, угловые скобки $<...>$ означают усреднение по части поверхности Ферми, на которой $v_{\parallel }>0$. Для круглого отверстия и сферической поверхности Ферми формула (ур. 1) приводит к результату:

$R_{Sh}^{-1}={\frac {3\pi }{16}}{\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}}\,,$

(Ур. 2)

отличающемуся от результата (ур. 1), полученного с помощью простейших качественных соображений, лишь постоянным числовым коэффициентом.

Применение

Баллистические контакты, сопротивление которых описывается формулой Шарвина, являются важным инструментом физических исследований. Исследование вольт-амперных характеристик микроконтактов и их производных положено в основу микроконтактной спектроскопии взаимодействия электронов с бозонными возбуждениями проводника. Она используется при расчете проводящих характеристик гранулированных проводников, в которых контакты между отдельными гранулами во многих случаях хорошо описываются формулой Шарвина. С помощью формулы Шарвина может быть рассчитан критический ток джозефсоновских слабых связей в виде микромостиков между двумя сверхпроводниками.