Функция Гамильтона

Для термина «Гамильтониан» см. также другие значения.

Эта статья включает описание термина «полная энергия»

Функция Га́мильтона, или гамильтониа́н — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики.

$H(p,q),$

или

$H(p,q,t),$

где $p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ — полный набор обобщённых импульсов, описывающий данную систему ($n$ — число степеней свободы),

$q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})$ — полный набор обобщённых координат.

В квантовой механике и квантовой теории поля гамильтониан, или оператор Гамильтона, определяющий временну́ю эволюцию системы, соответствует функции Гамильтона в классической физике и является её обобщением, в принципе достаточно прямым, однако в ряде случаев не совсем тривиальным (в принципе квантовый гамильтониан может быть получен просто подстановкой квантовых операторов координат и импульсов в функцию Гамильтона, однако из-за того, что такие операторы не всегда коммутируют, может быть не сразу очевиден выбор правильного варианта из возникающих вследствие этого).

В формализме фейнмановского интеграла по траекториям в квантовой механике и квантовой теории поля используется и просто классическая функция Гамильтона.

Функция Гамильтона участвует в гамильтоновой форме принципа наименьшего (стационарного) действия, канонических уравнениях Гамильтона (одной из возможных форм уравнения движения в классической механике) и уравнении Гамильтона — Якоби, являясь основой гамильтоновой формулировки механики.

Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию (выраженную как функция координат и импульсов), то есть — в классическом смысле — сумму кинетической и потенциальной энергий системы.

Функция Гамильтона связана с лагранжианом через преобразование Лежандра следующим соотношением:

$H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-L,$

где ${\vec {p}}$ — обобщённый импульс частицы, а ${\dot {\vec {q}}}$ — её обобщённая скорость.

Физический смысл

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) $\omega$ через волновой вектор $\mathbf {k}$ для каждой точки $\mathbf {x}$ пространства:

$\omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} ).$

Так, в классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от $\mathbf {x}$) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых $({\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i})$ интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие $({\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial q_{i})$ вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика, том 1. (Под ред. Л. П. Питаевского) . 4-е изд.— 2007.— 224 с., 2 000 экз., ISBN 978-5-9221-0819-5