Опыт Троутона — Нобла

Круглый конденсатор B с диаметром 7,7 см, изготовленный из нескольких слоёв слюды и фольги, был помещён в гладкий сферический целлулоидный шар D, покрытый токопроводящей краской и подвешенный внутри на тонкой проволоке из фосфористой бронзы длиной 37 см внутри заземлённая трубки. Провод был подключен к одному электроду электрофорной машины, которая поддерживала на чередующихся пластинах конденсатора напряжение до 3000 вольт. Противоположные пластины конденсатора, а также целлулоидный шарик удерживались под потенциалом земли с помощью платиновой проволоки, которую погружали в ванну с серной кислотой, которая служила не только проводящим электродом, но также гасила колебания и действовала как осушитель. Зеркало, прикреплённое к конденсатору, просматривалось через телескоп и позволяло точные изменения ориентации.

Опыт Троутона — Нобла был попыткой обнаружить движение Земли через эфир. Опыт проведён в 1901—1903 годах Фредерик Томас Троутон и H. R. Noble. Он был основан на предположении Джорджа Фитцджеральда, что заряженный плосопараллельный конденсатор движущийся через эфир должен ориентироваться перпендикулярно движению. Как и в более раннем эксперименте Майкельсона — Морли, Траутон и Нобл получили нулевой результат: нельзя было обнаружить никакого движения относительно эфира. Этот нулевой результат был воспроизведён в последующих попытках с возрастающей точностью Рудольфом Томашеком (1925, 1926), Чейзом (1926, 1927) и Хейденом в 1994 году. Теперь видно, что такие экспериментальные результаты, согласующиеся со специальной теорией относительности, отражают справедливость принципа относительности и отсутствие какой-либо абсолютной системы покоя (или эфира). Эксперимент является проверкой специальной теории относительности.

Опыт Траутона — Нобла также связан с мысленными экспериментами, такими как «парадокс Траутона — Нобла» и «прямоугольный рычаг» или «парадокс Льюиса — Толмена». Для решения этого парадокса было предложено несколько объяснений, и все они согласуются со специальной теорией относительности.

Опыт

В опыте подвешенный плоскопараллельный конденсатор удерживается тонким скрученным волокном и заряжается. Если бы теория эфира была верна, изменение уравнений Максвелла из-за движения Земли через эфир привело бы к крутящему моменту, заставляющему пластины выровняться перпендикулярно движению. Это можно записать в виде

$\tau =-E'{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin 2\alpha '$

где $\tau$ — крутящий момент, $E$ — энергия конденсатора, $\alpha$ — угол между нормалью к пластине и скоростью.

С другой стороны, утверждение специальной теории относительности о том, что уравнения Максвелла инвариантны для всех систем отсчета, движущихся с постоянными скоростями, не предсказывает крутящего момента (нулевой результат). Таким образом, если эфир не закреплён каким-либо образом относительно Земли, то опыт является проверкой того, какое из этих двух описаний является более точным. Таким образом, его нулевой результат подтверждает лоренц-инвариантность специальной теории относительности.

Однако если отрицательный результат опыта легко объяснить в покоящейся системе отсчёта устройства, то объяснение с точки зрения подвижной системы отсчета (относительно вопроса о том, должен ли возникать такой же крутящий момент, как в «эфирной системе» описанный выше, или крутящий момент вообще не возникает) гораздо сложнее и называется «парадоксом Троутона — Нобла», который можно решить несколькими способами (см. решения ниже).

Парадокс прямого углового рычага

Парадокс Троутона — Нобла по существу эквивалентен в мысленном эксперимент под названием «парадокс прямоугольного рычага», впервые рассмотрен Гилберт Ньютон Льюисом и Ричард Чейза Толменом в 1909 году. Предположим, прямоугольный рычаг с концами обозначенными abc. В системе покоя силы $f_{y}$ в сторону ба и $f_{x}$ по направлению к bc должны быть равены для достижения равновесия, поэтому закон рычага не даёт крутящего момента:

$\tau '=L_{0}\left(f'_{x}-f'_{y}\right)=0$

где $\tau$ — это крутящий момент, и $L_{0}$ остаточная длина одного плеча рычага. Однако из-за сокращения длины ba длиннее, чем bc в недвижущейся системе, поэтому закон рычага даёт:

$\tau =f_{x}\cdot L_{0}-f_{y}\cdot L_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=L_{0}\left(f_{x}-f_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)$

Видно, что крутящий момент не равен нулю, что, по-видимому, привело бы к вращению рычага в неподвижной системе координат. Поскольку вращение не наблюдается, Льюис и Толмен пришли к выводу, что крутящего момента не существует, поэтому:

${\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

Однако, как показал Макс фон Лауэ (1911), это противоречит релятивистским выражениям для силы,

$f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

который даёт

${\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Применительно к закону рычага возникает следующий крутящий момент:

$\tau =-L_{0}\cdot f'_{x}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}$

Это принципиально та же проблема, что и в парадоксе Трутона — Нобла.

Решения

Подробный релятивистский анализ как парадокса Трутона — Нобла, так и парадокса прямоугольного рычага требует осторожности, чтобы правильно согласовать, например, эффекты, видимые наблюдателями в разных системах отсчёта, но в конечном итоге показано, что все такие теоретические описания дают один и тот же результат. В обоих случаях кажущийся результирующий крутящий момент на объекте (если смотреть из определённой системы отсчета) не приводит к какому-либо вращению объекта, и в обоих случаях это объясняется правильным релятивистским учётом преобразования всех соответствующих сил, импульсов и создаваемых ими ускорений. Ранняя история описаний этого эксперимента рассмотрена Янссеном (1995).

Ток Лауэ

Первое решение парадокса Траутона — Нобла было дано Хендриком Лоренцем в 1904 году. Его результат основан на предположении, что крутящий момент и импульс из-за электростатических сил компенсируются крутящим моментом и импульсом из-за молекулярных сил.

Эта идея получила дальнейшее развитие в работе Макса фон Лауэ в 1911 году, который дал стандартное решение для такого рода парадоксов. В её основе лежала так называемая «инерция энергии» в её общей формулировке Макса Планка. Согласно Лауэ, энергетический поток, связанный с определённым импульсом («лауэвский ток»), возникает в движущихся телах за счёт упругих напряжений. Результирующий механический крутящий момент в случае эксперимента Траутона — Нобла имеет величину:

$\tau =E'{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin 2\alpha '$

а в прямоугольном рычаге:

$\tau =L_{0}\cdot f'_{x}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}$

который точно компенсирует упомянутый выше электромагнитный момент, поэтому вращение не происходит в обоих случаях. Или другими словами: электромагнитный момент фактически необходим для равномерного движения тела, то есть для того, чтобы препятствовать вращению тела за счёт механического момента, вызванного упругими напряжениями.

С тех пор появилось много статей, в которых развивалось током Лауэ с некоторыми модификациями или переформулировками, а также включались различные варианты «скрытого» импульса.

Переформулировки силы и импульса

Других авторов не удовлетворяла идея о том, что крутящие моменты и противодействующие моменты возникают только потому, что выбираются разные инерциальные системы отсчёта. Их цель состояла в том, чтобы с самого начала заменить стандартные выражения для импульса и силы и, следовательно, равновесия явно лоренц-ковариантными. Таким образом, когда в покоящейся системе отсчёта рассматриваемого объекта нет крутящего момента, то нет крутящих моментов и в других системах. Это аналогично проблеме 4/3 электромагнитной массы электронов, где аналогичные методы использовались Энрико Ферми (1921) и Фрицем Рорлихом (1960). В стандартной формулировке релятивистской динамики можно использовать гиперплоскости одновременности любого наблюдателя, в то время как в определении Ферми/Рорлиха следует использовать гиперплоскость одновременности системы покоя объекта. По словам Янссена, выбор между стандартной моделью Лауэ и такими альтернативами является просто делом соглашения.

Следуя этой линии рассуждений, Рорлих (1966) различал «кажущиеся» и «истинные» преобразования Лоренца. Например, «истинное» преобразование длины будет результатом прямого применения преобразования Лоренца, которое даёт неодновременные положения конечных точек в другом кадре. С другой стороны, сокращение длины было бы примером кажущегося преобразования, поскольку одновременные положения конечных точек в движущейся системе отсчета должны быть рассчитаны в дополнение к начальному преобразованию Лоренца. Кроме того, Cavalleri/Salgarelli (1969) различали «синхронные» и «асинхронные» состояния равновесия. По их мнению, синхронный учёт сил следует использовать только для неподвижной системы отсчета объекта, а в движущихся системах те же силы следует учитывать асинхронно.

Сила и ускорение

Решение без компенсирующих сил или переопределений силы и равновесия было опубликовано Ричардом С. Толменом и Полом Софусом Эпштейном в 1911 году. Аналогичное решение было повторно обнаружено Франклином (2006). Они намекали на то, что сила и ускорение не всегда имеют одно и то же направление, то есть отношение массы, силы и ускорения имеет в теории относительности тензорный характер. Таким образом, роль, которую играет понятие силы в теории относительности, сильно отличается от роли в ньютоновской механике.

Эпштейн представил себе безмассовый стержень с концами OM, который закреплён в точке O, а в точке M закреплена частица с массой покоя m. Стержень охватывает угол $\tan \alpha \!$ с О. Теперь к ОМ приложена сила в точке М, и равновесие в его системе покоя достигается, когда ${\tfrac {f'_{x}}{f'_{y}}}=\tan \alpha '$. Как уже было показано выше, в неподвижной системе отсчёта эти силы имеют вид:

$f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},\ \tan \alpha =\tan \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

Таким образом

${\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\frac {\tan \alpha }{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ .

Тогда результирующая сила не направлена прямо от О к М. Приводит ли это к вращению стержня? Нет, потому что теперь Эпштейн рассмотрел ускорения, вызванные двумя силами. Релятивистские выражения для случая, когда масса m ускоряется этими двумя силами в продольном и поперечном направлениях, таковы:

$a_{x}={\frac {f_{x}}{m\gamma ^{3}}},\ a_{y}={\frac {f_{y}}{m\gamma }}$, где $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

Таким образом

${\frac {a_{x}}{a_{y}}}=\tan \alpha$ .

Тогда в этой системе также не происходит вращения. Аналогичные соображения также применимы к прямоугольному рычагу и парадоксу Траутона — Нобла. Таким образом, парадоксы разрешаются, поскольку два ускорения (в виде векторов) указывают на центр тяжести системы (конденсатора), а две силы — нет.

Эпштейн добавил, что если кто-то находит более удовлетворительным восстановить параллелизм между силой и ускорением, к которому мы привыкли в ньютоновской механике, он должен включить компенсирующую силу, которая формально соответствует току Лауэ. Эпштейн разработал такой формализм в последующих разделах своей статьи от 1911 года.

Литература

История

• Michel Janssen, "A comparison between Lorentz's ether theory and special relativity in the light of the experiments of Trouton and Noble, Ph.D. thesis (1995). Online: TOC, pref., intro-I, 1, 2, intro-II, 3, 4, refs.
• Janssen, Michel H. P. (2008), "Drawing the line between kinematics and dynamics in special relativity", Symposium on Time and Relativity, 40 (1): 1—76, Bibcode:2009SHPMP..40...26J, doi:10.1016/j.shpsb.2008.06.004

Учебники

• Tolman, R.C. (1917), "The Right-Angled Lever", The theory of relativity of motion, Berkeley: University of California press, pp. 539—776, 152—153
• Pauli, Wolfgang. Applications to special cases. Trouton's and Noble's experiment // Theory of Relativity. — New York : Dover, 1981. — P. 127–130. — ISBN 978-0-486-64152-2.
• Panofsky, Wolfgang. Classical electricity and magnetism / Panofsky, Wolfgang, Phillips, Melba. — Dover, 2005. — P. 274, 349. — ISBN 978-0-486-43924-2.
• Jackson, John D. Classical Electrodynamics. — 3rd. — Wiley, 1998. — ISBN 978-0-471-30932-1.

American Journal of Physics

• Gamba, A. (1967). "Physical Quantities in Different Reference Systems According to Relativity". American Journal of Physics. 35 (2): 83—89. Bibcode:1967AmJPh..35...83G. doi:10.1119/1.1973974.
• Butler, J. W. (1968). "On the Trouton-Noble Experiment". American Journal of Physics. 36 (11): 936—941. Bibcode:1968AmJPh..36..936B. CiteSeerX 10.1.1.144.9274. doi:10.1119/1.1974358.
• Aranoff, S. (1969). "Torques and Angular Momentum on a System at Equilibrium in Special Relativity". American Journal of Physics. 37 (4): 453—454. Bibcode:1969AmJPh..37..453A. doi:10.1119/1.1975612.
• Furry, W. H. (1969). "Examples of Momentum Distributions in the Electromagnetic Field and in Matter". American Journal of Physics. 37 (6): 621—636. Bibcode:1969AmJPh..37..621F. doi:10.1119/1.1975729.
• Butler, J. W. (1969). "A Proposed Electromagnetic Momentum-Energy 4-Vector for Charged Bodies". American Journal of Physics. 37 (12): 1258—1272. Bibcode:1969AmJPh..37.1258B. doi:10.1119/1.1975297.
• Butler, J. W. (1970). "The Lewis-Tolman Lever Paradox". American Journal of Physics. 38 (3): 360—368. Bibcode:1970AmJPh..38..360B. doi:10.1119/1.1976326.
• Rohrlich, F. (1970). "Electromagnetic Momentum, Energy, and Mass". American Journal of Physics. 38 (11): 1310—1316. Bibcode:1970AmJPh..38.1310R. doi:10.1119/1.1976082.
• Sears, Francis W. (1972). "Another Relativistic Paradox". American Journal of Physics. 40 (5): 771—773. Bibcode:1972AmJPh..40..771S. doi:10.1119/1.1986643.
• Aranoff, S. (1973). "More on the Right-Angled Lever at Equilibrium in Special Relativity". American Journal of Physics. 41 (9): 1108—1109. Bibcode:1973AmJPh..41.1108A. doi:10.1119/1.1987485.
• Nickerson, J. Charles; McAdory, Robert T. (1975). "The Trouton-Noble paradox". American Journal of Physics. 43 (7): 615—621. Bibcode:1975AmJPh..43..615N. doi:10.1119/1.9761.
• Cavalleri, G.; Grøn, Ø.; Spavieri, G.; Spinelli, G. (1978). "Comment on the article "Right-angle lever paradox" by J. C. Nickerson and R. T. McAdory". American Journal of Physics. 46 (1): 108—109. Bibcode:1978AmJPh..46..108C. doi:10.1119/1.11106.
• Grøn, Ø. (1978). "Relativistics statics and F. W. Sears". American Journal of Physics. 46 (3): 249—250. Bibcode:1978AmJPh..46..249G. doi:10.1119/1.11164.
• Holstein, Barry R.; Swift, Arthur R. (1982). "Flexible string in special relativity". American Journal of Physics. 50 (10): 887—889. Bibcode:1982AmJPh..50..887H. doi:10.1119/1.13002.
• Singal, Ashok K. (1993). "On the "explanation" of the null results of Trouton-Noble experiment". American Journal of Physics. 61 (5): 428—433. Bibcode:1993AmJPh..61..428S. doi:10.1119/1.17236.
• Teukolsky, Saul A. (1996). "The explanation of the Trouton-Noble experiment revisited" (PDF). American Journal of Physics. 64 (9): 1104—1109. Bibcode:1996AmJPh..64.1104T. doi:10.1119/1.18329.
• Jackson, J. D. (2004). "Torque or no torque? Simple charged particle motion observed in different inertial frames". American Journal of Physics. 72 (12): 1484—1487. Bibcode:2004AmJPh..72.1484J. doi:10.1119/1.1783902.

European Journal of Physics

• Aguirregabiria, J. M.; Hernandez, A.; Rivas, M. (1982). "A Lewis-Tolman-like paradox". European Journal of Physics. 3 (1): 30—33. Bibcode:1982EJPh....3...30A. doi:10.1088/0143-0807/3/1/008.
• Franklin, Jerrold (2006). "The lack of rotation in the Trouton Noble experiment". European Journal of Physics. 27 (5): 1251—1256. arXiv:physics/0603110. Bibcode:2006EJPh...27.1251F. doi:10.1088/0143-0807/27/5/024. S2CID 16934275.
• Franklin, Jerrold (2008). "The lack of rotation in a moving right angle lever". European Journal of Physics. 29 (6): N55—N58. arXiv:0805.1196. Bibcode:2008EJPh...29...55F. doi:10.1088/0143-0807/29/6/N01. S2CID 118386487.

Journal of Physics A

• Jefimenko, Oleg D. (1999). "The Trouton-Noble paradox". Journal of Physics A. 32 (20): 3755—3762. Bibcode:1999JPhA...32.3755J. doi:10.1088/0305-4470/32/20/308. S2CID 5923766.

Nuovo Cimento

• Arzeliès, H. (1965). "Sur le problème relativiste du levier coudé". Il Nuovo Cimento. 35 (3): 783—791. Bibcode:1965NCim...35..783A. doi:10.1007/BF02739341. S2CID 120383996.
• Rohrlich, F. (1966). "True and apparent transformations, classical electrons, and relativistic thermodynamics". Il Nuovo Cimento B. 45 (1): 76—83. Bibcode:1966NCimB..45...76R. doi:10.1007/BF02710587. S2CID 123061629.
• Newburgh, R. G. (1969). "The relativistic problem of the right-angled lever: The correctness of the Laue solution". Il Nuovo Cimento B. 61 (2): 201—209. Bibcode:1969NCimB..61..201N. doi:10.1007/BF02710928. S2CID 117911369.
• Cavalleri, G.; Salgarelli, G. (1969). "Revision of the relativistic dynamics with variable rest mass and application to relativistic thermodynamics". Il Nuovo Cimento A. 62 (3): 722—754. Bibcode:1969NCimA..62..722C. doi:10.1007/BF02819595. S2CID 124525672.
• Aranoff, S. (1972). "Equilibrium in special relativity" (PDF). Il Nuovo Cimento B. 10 (1): 155—171. Bibcode:1972NCimB..10..155A. doi:10.1007/BF02911417. S2CID 117291369. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012.
• Grøn, Ø. (1973). "The asynchronous formulation of relativistic statics and thermodynamics". Il Nuovo Cimento B. 17 (1): 141—165. Bibcode:1973NCimB..17..141G. doi:10.1007/BF02906436. S2CID 122454306.
• Pahor, S.; Strnad, J. (1974). "Statics in special relativity". Il Nuovo Cimento B. 20 (1): 105—112. Bibcode:1974NCimB..20..105P. doi:10.1007/BF02721111. S2CID 123433408.
• Cavalleri, G.; Spavieri, G.; Spinelli, G. (1975). "Ropes and pulleys in special relativity (relativistic statics of threads)". Il Nuovo Cimento B. 25 (1): 348—356. Bibcode:1975NCimB..25..348C. doi:10.1007/BF02737685. S2CID 120491330.
• Chamorro, A.; Hernández, A. (1978). "A synchronous formulation of relativistic statics". Il Nuovo Cimento B. 41 (1): 236—244. Bibcode:1977NCimB..41..236C. doi:10.1007/BF02726555. S2CID 118140054.
• Hernández, A.; Rivas, M.; Aguirregabiria, J. M. (1982). "A quantitative analysis of the trouton-noble experiment". Il Nuovo Cimento B. 72 (1): 1—12. Bibcode:1982NCimB..72....1H. doi:10.1007/BF02894929. S2CID 118263084.
• Ai, Hsiao-Bai (1993). "The historical misconception in relativistic statics". Il Nuovo Cimento B. 108 (1): 7—15. Bibcode:1993NCimB.108....7A. doi:10.1007/BF02874335. S2CID 120591882.
• Nieves, L.; Rodriguez, M.; Spavieri, G.; Tonni, E. (2001). "An experiment of the Trouton-Noble type as a test of the differential form of Faraday's law". Il Nuovo Cimento B. 116 (5): 585. Bibcode:2001NCimB.116..585N.
• Spavieri, G.; Gillies, G. T. (2003). "Fundamental tests of electrodynamic theories: Conceptual investigations of the Trouton-Noble and hidden momentum effects". Il Nuovo Cimento B. 118 (3): 205. Bibcode:2003NCimB.118..205S.

Foundations of Physics

• Prokhovnik, S. J.; Kovács, K. P. (1985). "The application of special relativity to the right-angled lever". Foundations of Physics. 15 (2): 167—173. Bibcode:1985FoPh...15..167P. doi:10.1007/BF00735288. S2CID 120649126.
• Spavieri, Gianfranco (1990). "Proposal for experiments to detect the missing torque in special relativity". Foundations of Physics Letters. 3 (3): 291—302. Bibcode:1990FoPhL...3..291S. doi:10.1007/BF00666019. S2CID 122236005.
• Ivezić, Tomislav (2005). "Axiomatic Geometric Formulation of Electromagnetism with Only One Axiom: The Field Equation for the Bivector Field F with an Explanation of the Trouton-Noble Experiment". Foundations of Physics Letters. 18 (5): 401—429. arXiv:physics/0412167. Bibcode:2005FoPhL..18..401I. doi:10.1007/s10702-005-7533-7. S2CID 6907453.
• Ivezić, Tomislav (2006). "Four-Dimensional Geometric Quantities versus the Usual Three-Dimensional Quantities: The Resolution of Jackson's Paradox". Foundations of Physics. 36 (10): 1511—1534. arXiv:physics/0602105. Bibcode:2006FoPh...36.1511I. doi:10.1007/s10701-006-9071-y. S2CID 17410595.
• Ivezić, Tomislav (2006). "Trouton Noble Paradox Revisited". Foundations of Physics. 37 (4—5): 747—760. arXiv:physics/0606176. Bibcode:2007FoPh...37..747I. doi:10.1007/s10701-007-9116-x. S2CID 5977062.