Момент силы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Момент силы
\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]
Размерность

L2MT−2

Единицы измерения
СИ

Н·м

СГС

Дина-сантиметр

Примечания

Псевдовектор

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя
Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением, не учитываются).

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения[править | править вики-текст]

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]

где \vec{F} — сила, действующая на частицу, а \vec{r}  — радиус-вектор частицы.

Предыстория[править | править вики-текст]

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искусственно[источник не указан 619 дней], так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы \vec F на рычаг \vec r, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок ~dl, которому соответствует бесконечно малый угол d\varphi. Обозначим через \vec dl вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка ~dl и равен ему по модулю. Угол между вектором силы \vec F и вектором \vec dl равен ~\beta , а угол ~\alpha между вектором \vec r и вектором силы \vec F.

Следовательно, бесконечно малая работа ~dA, совершаемая силой \vec F на бесконечно малом участке ~dl равна скалярному произведению вектора \vec dl и вектора силы, то есть  dA = \vec F \cdot \vec dl .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора \vec dl через радиус-вектор \vec r, а проекцию вектора силы \vec F на вектор \vec dl, через угол ~\alpha .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага ~dl, можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу \vec r, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство:  dl = r \mathrm{tg}\,{d\varphi}, где в случае малого угла справедливо   \mathrm{tg}\,{d\varphi} = d\varphi и следовательно \left| \vec{dl} \right| = \left| \vec{r} \right| d\varphi

Для проекции вектора силы \vec F на вектор \vec dl, видно, что угол \beta = \alpha - \frac{\pi}{2} , а так как  \cos{\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right )} = \sin{\alpha}, получаем, что  \left| \vec{F} \right| \cos{\beta}= \left| \vec{F} \right| \sin{\alpha}.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства dA=\left| \vec{r} \right| d\varphi \left| \vec{F} \right| \sin{\alpha} или dA=\left| \vec{r} \right|  \left| \vec{F} \right| \sin{\left (\alpha \right )} d\varphi.

Теперь видно, что произведение \left| \vec{r} \right|  \left| \vec{F} \right| \sin{\left (\alpha \right )} есть не что иное как модуль векторного произведения векторов \vec r и \vec F, то есть  \left|  \vec r \times \vec F  \right|, которое и было принято обозначить за момент силы ~M или модуль вектора момента силы  \left|\vec M\right|.

Теперь полная работа записывается очень просто: A = \int\limits_ 0^ \varphi \left|  \vec r \times \vec F  \right| d\varphi или A = \int\limits_ 0^ \varphi\left|  \vec M \right| d\varphi.

Единицы[править | править вики-текст]

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является ньютон-метр. Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерностей этих величин — не случайность; момент силы 1 Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

E= {M} \theta\ ,

где Е — энергия, M — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Формула момента рычага[править | править вики-текст]

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

|\vec{M}| = |\vec{M}_1| | \vec{F}| , где: |\vec{M}_1| — момент рычага, |\vec{F}| — величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору \vec{r}, момент рычага будет равен расстоянию до центра, и момент силы будет максимален

|\vec{T}| = |\vec{r}| |\vec{F}|

Сила под углом[править | править вики-текст]

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то M = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие[править | править вики-текст]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени[править | править вики-текст]

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

\vec{M} ={d\vec{L} \over dt} \,\! ,

где \vec{L} — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

\vec{L}=I\,\vec{\omega} \,\! ,

То есть, если I постоянная, то

\vec{M}=I{d\vec{\omega} \over dt}=I\vec{\alpha} \,\! ,

где \vec{\alpha} — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью[править | править вики-текст]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

P = \vec{M} \cdot \vec{\omega}

В системе СИ мощность P измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а угловая скорость в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой[править | править вики-текст]

A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}{|\vec{M}|  \mathrm{d}\theta}

В случае постоянного момента получаем:

A =|\vec{M}| \theta

В системе СИ работа A измеряется в джоулях, момент силы в ньютон·метр, а угол в радианах.

Обычно известна угловая скорость \omega в радианах в секунду и время действия момента t.

Тогда совершенная моментом силы работа рассчитывается как:

A= |\vec{M}| \omega t

Момент силы относительно точки[править | править вики-текст]

Если имеется материальная точка  O_F\,\! , к которой приложена сила \vec F , то момент силы относительно точки  O\,\! равен векторному произведению радиус-вектора \vec r, соединяющего точки O и O_F, на вектор силы \vec F:

\vec M_O = \left[ \vec r \times \vec F \right].

Момент силы относительно оси[править | править вики-текст]

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения[править | править вики-текст]

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Измерение момента[править | править вики-текст]

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки.

См. также[править | править вики-текст]