Параметризация Вейерштрасса — Эннепера

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.

Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности ещё в 1863 году.

Параметризация Вейерштрасса позволяет построение периодических минимальных поверхностей

Параметризация

Пусть $f$ и $g$ будут функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где $g$ является мероморфной, а $f$ является аналитической, такие что где $g$ имеет полюс порядка $m$, $f$ имеет нуль порядка $2m$ (или, эквивалентно, такие что произведение $fg^{2}$ является голоморфной), и пусть $c_{1},c_{2},c_{3}$ будут константами. Тогда поверхность с координатами $(x_{1},x_{2},x_{3})$ является минимальной, где $x_{k}$ определяется как вещественная часть комплексного интеграла:

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

Обратное также верно — любая непланарная минимальная поверхность, определённая над связной областью может быть параметризована таким образом.

Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию $f(z)=1,g(z)=z^{m}$.

Параметрическая поверхность комплексных переменных

Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность $X$ ($\mathbb {R} ^{3}$) на комплексной плоскости ($\mathbb {C}$). Пусть $\omega =u+vi$ (комплексная плоскость как пространство $uv$), матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}$

Здесь $f(\omega )$ и $g(\omega )$ являются голоморфными функциями от $\omega$.

Якобиан $\mathbf {J}$ представляет два ортогональных касательных к поверхности вектора:

$\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}$

Нормаль к поверхности задаётся выражением

$\mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}$

Якобиан $\mathbf {J}$ приводит к ряду важных свойств: $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$, $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})$, $\mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$, $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$. Доказательство можно найти в статье Шарма: Представление Вейерштрасса всегда даёт минимальную поверхность. Производные могут быть использованы для построения матрицы первой квадратичной формы :

${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

и матрицы второй квадратичной формы

${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}$

Наконец, точка $\omega _{t}$ на комплексной плоскости отображается в точку $\mathbf {X}$ на минимальной поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}$

где $\omega _{0}=0$ для всех минимальных поверхностей, за исключением минимальной поверхности Коста, где $\omega _{0}=(1+i)/2$.

Вложенные минимальные поверхности и примеры

Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в $\mathbb {R} ^{3}$ с конечной топологией включают плоскость, катеноид, геликоид и минимальную поверхность Коста. Поверхность Коста вовлекает эллиптическую функцию Вейерштрасса $\wp$:

$g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}$

$f(\omega )=\wp (\omega )$

где $A$ является константой.

Геликатеноид

Выбрав функции $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ и $g(\omega )=e^{-\omega /A}$, получим семейство минимальных поверхностей.

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$

$\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$

$\varphi _{3}=e^{-i\alpha }$

$\mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$

Выберем параметры поверхности $\omega =s+i(A\phi )$:

$\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

В экстремальных точках поверхность является катеноидом $(\alpha =0)$ или геликоидом $(\alpha =\pi /2)$. В остальном $\alpha$ представляет угол совмещения. Результирующая поверхность, при выборе области определения во избежание самопересечений, представляет собой цепочку, вращающуюся вокруг оси $\mathbf {X} _{3}$ по спирали.

Цепочка, стягивающая периодические точки спирали и поворачиваемая вдоль спирали для образования минимальной поверхности.

Фундаментальная область (C) и 3D поверхности. Непрерывные поверхности состоят из копий основного фрагмента (R3)

Линии кривизны

Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы в виде функций от $f$ и $g$, например

$\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')$

А следовательно, вторая фундаментальная форма может быть упрощена

${\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}$

Линии кривизны образуют четырёхугольные области

Одним из собственных векторов матрицы является

${\overline {\sqrt {fg'}}}$

и он представляет главное направление в комплексной области. Поэтому двумя главными направлениями в пространстве $uv$ оказываются

$\phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2$

См. также

• Ассоцированное семейство
• Поверхность Брайанта, имеется аналогичная параметрищация в гиперболическом пространстве