Кэлерово многообразие: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Bezik (обсуждение | вклад) оформление, орфография |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Кэлерово многообразие''' |
'''Кэлерово многообразие''' — [[Многообразие|многообразие]] с тремя взаимно совместимыми структурами: [[Комплексное многообразие|комплексной структурой]], [[Риманово многообразие|римановой метрикой]] и [[Симплектическое многообразие|симплектической формой]]. |
||
Названы в честь немецкого математика [[Кэлер, Эрих|Эриха Кэлера]]. |
Названы в честь немецкого математика [[Кэлер, Эрих|Эриха Кэлера]]. |
||
== Определения == |
== Определения == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
=== Как симплектическое многообразие === |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
=== Как комплексноеое многообразие === |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Кэлеров потенциал == |
== Кэлеров потенциал == |
||
На комплексном многообразии <math> K </math>, каждая {{iw|строго плюригармоническая функция||en|strictly plurisubharmonic function}} |
На комплексном многообразии <math> K </math>, каждая {{iw|строго плюригармоническая функция||en|strictly plurisubharmonic function}} <math> \rho \in C^\infty(K; \mathbb R)</math> порождает кэлерову форму |
||
:<math> \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho.</math> |
: <math> \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho.</math> |
||
При этом, функция <math> \rho </math> называется ''' |
При этом, функция <math> \rho </math> называется '''''кэлеровым потенциалом''''' формы <math> \omega</math>. |
||
Локально верно обратное. |
Локально верно обратное. |
||
Точнее, для каждой точки <math> p </math> |
Точнее, для каждой точки <math> p </math> кэлерова многообразия <math> (K,\omega) </math> существует окрестность <math> U\ni p </math> и функция <math> \rho \in C^\infty(U,\mathbb R) </math> такая, что |
||
:<math> \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho </math>. |
: <math> \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho </math>. |
||
При этом <math> \rho </math> называется '''локальным Кэлеровым потенциалом''' формы <math> \omega</math>. |
При этом <math> \rho </math> называется '''''локальным Кэлеровым потенциалом''''' формы <math> \omega</math>. |
||
== Примеры == |
== Примеры == |
||
* Комплексное [[ |
* Комплексное [[евклидово пространство]] <math>\mathbb{C}^n</math> со стандартной эрмитовой формой. |
||
* Каждая |
* Каждая риманова метрика на [[Риманова поверхность|поверхности]] определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость <math>\omega</math> тривиально в вещественной размерности два. |
||
* Комплексное проективное пространство <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^n</math> с {{iw|метрика Фубини — Штуди|метрикой Фубини — Штуди|en|Fubini–Study metric}}. |
* Комплексное проективное пространство <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^n</math> с {{iw|метрика Фубини — Штуди|метрикой Фубини — Штуди|en|Fubini–Study metric}}. |
||
* Индуцированная метрика на [[Комплексное многообразие|комплексное подмногообразии]] в |
* Индуцированная метрика на [[Комплексное многообразие|комплексное подмногообразии]] в кэлеровом многообразии. |
||
**В K3-поверхностичастности, любое {{iw|многообразие Штейна||en|Stein manifold}} и любое проективное [[алгебраическое многообразие]]. |
** В K3-поверхностичастности, любое {{iw|многообразие Штейна||en|Stein manifold}} и любое проективное [[алгебраическое многообразие]]. |
||
**По [[Теорема Кодайры о вложении|теореме Кодайры о вложении]], |
** По [[Теорема Кодайры о вложении|теореме Кодайры о вложении]], кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая вкладываются в проективное пространство. |
||
* {{iw|K3-поверхность|K3-поверхности|en|K3 surface}} |
* {{iw|K3-поверхность|K3-поверхности|en|K3 surface}} |
||
*Важным подклассом |
* Важным подклассом кэлеровых многообразий являются [[Пространство Калаби — Яу|многообразия Калаби — Яу]]. |
||
== См. также == |
== См. также == |
||
* [[Почти комплексная структура|Почти комплексного многообразия]] |
* [[Почти комплексная структура|Почти комплексного многообразия]] |
||
== |
== Литература == |
||
* {{статья |
|||
<div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> |
|||
|doi=10.1007/BF01389853 |
|||
<references /></div> |
|||
|автор = [[Делинь, Пьер|P. Deligne]], Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan |
|||
* <cite class="citation" id="CITEREFDeligneGriffithsMorganSullivan1975">Deligne, P.; Griffiths, Ph.; Morgan, J.; Sullivan, D., (1975), "Real homotopy theory of Kähler manifolds", ''Invent. ''</cite><cite class="citation" id="CITEREFDeligneGriffithsMorganSullivan1975">''Math.'', '''29''': 245–274, [[Идентификатор цифрового объекта|doi]]:[[doi:10.1007/BF01389853|10.1007/BF01389853]]</cite><cite class="citation" id="CITEREFDeligneGriffithsMorganSullivan1975"></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AK%C3%A4hler+manifold&rft.atitle=Real+homotopy+theory+of+K%C3%A4hler+manifolds&rft.aufirst=P.&rft.au=Griffiths%2C+Ph.&rft.aulast=Deligne&rft.au=Morgan%2C+J.&rft.au=Sullivan%2C+D.%2C&rft.date=1975&rft.genre=article&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF01389853&rft.jtitle=Invent.+Math.&rft.pages=245-274&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.volume=29"> </span> |
|||
|заглавие = Real homotopy theory of Kähler manifolds |
|||
* <cite class="citation" id="CITEREFK.C3.A4hler1933">Kähler, E. (1933), "Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik", ''Abh. Math. Sem. Univ. ''</cite><cite class="citation" id="CITEREFK.C3.A4hler1933">''Hamburg'', '''9''': 173–186, [[Идентификатор цифрового объекта|doi]]:[[doi:10.1007/BF02940642|10.1007/BF02940642]]</cite><cite class="citation" id="CITEREFK.C3.A4hler1933"></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AK%C3%A4hler+manifold&rft.atitle=%C3%9Cber+eine+bemerkenswerte+Hermitesche+Metrik&rft.aufirst=E.&rft.aulast=K%C3%A4hler&rft.date=1933&rft.genre=article&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF02940642&rft.jtitle=Abh.+Math.+Sem.+Univ.+Hamburg&rft.pages=173-186&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.volume=9"> </span> |
|||
|издание = Invent. Math| том = 29| год = 1975| страницы = 245–274}} |
|||
* <cite class="citation" id="CITEREFHartshorne1977">Hartshorne, Robin (1977), ''Algebraic Geometry'', Berlin, New York: [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], [[Международный стандартный книжный номер|ISBN]] 978-0-387-90244-9, [[Mathematical Reviews|MR]] [//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0463157 0463157], [[Online Computer Library Center|OCLC]] [//www.worldcat.org/oclc/13348052 13348052]</cite><cite class="citation" id="CITEREFHartshorne1977"></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AK%C3%A4hler+manifold&rft.aufirst=Robin&rft.aulast=Hartshorne&rft.btitle=Algebraic+Geometry&rft.date=1977&rft.genre=book&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0463157&rft_id=info%3Aoclcnum%2F13348052&rft.isbn=978-0-387-90244-9&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"> </span> |
|||
* {{статья |
|||
|doi=10.1007/BF02940642 |
|||
|автор = [[Кэлер, Эрих|E. Kähler]] |
|||
|заглавие = Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik |
|||
|издание = Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg | том = 9| год = 1933| страницы = 173–186}} |
|||
* {{книга |
|||
| автор = R. Hartshorne |
|||
| заглавие = Algebraic Geometry |
|||
| издательство = [[Springer-Verlag]] |
|||
| место = Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | год = 1977}} |
|||
* Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. ''Infinite Dimensional Kähler Manifolds'' (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8. |
* Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. ''Infinite Dimensional Kähler Manifolds'' (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8. |
||
* {{книга |
|||
* <cite class="citation" id="CITEREFMoroianu2007">Moroianu, Andrei (2007), ''Lectures on Kähler geometry'', London Mathematical Society Student Texts, '''69''', [[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]], [[Международный стандартный книжный номер|ISBN]] 978-0-521-68897-0, [[Mathematical Reviews|MR]] [//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2325093 2325093]</cite><cite class="citation" id="CITEREFMoroianu2007"></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AK%C3%A4hler+manifold&rft.aufirst=Andrei&rft.aulast=Moroianu&rft.btitle=Lectures+on+K%C3%A4hler+geometry&rft.date=2007&rft.genre=book&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2325093&rft.isbn=978-0-521-68897-0&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.series=London+Mathematical+Society+Student+Texts&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"> </span> |
|||
|автор = A. Moroianu |
|||
* Andrei Moroianu, ''Lectures on Kähler Geometry'' (2004), http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf |
|||
|заглавие = Lectures on Kähler geometry |
|||
⚫ | |||
|издательство = [[Cambridge University Press]] |
|||
|серия = London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-68897-0 |mr=2325093 | год = 2007 | том = 69}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор = [[Вейль, Андре|A. Weil]] |
|||
⚫ | |||
|год = 1958}} |
|||
[[Категория:Алгебраическая геометрия]] |
[[Категория:Алгебраическая геометрия]] |
||
[[Категория:Симплектическая геометрия]] |
[[Категория:Симплектическая геометрия]] |
Версия от 19:09, 1 ноября 2016
Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.
Названы в честь немецкого математика Эриха Кэлера.
Определения
Как симплектическое многообразие, кэлерово многообразие — это симплектическое многообразие с интегрируемой почти комплекснаой структурой, которая согласуется с симплектической формой.
Как комплексноеое многообразие, кэлерово многообразие — это эрмитово многообразие с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.
Связь между определениями
Пусть — эрмитова форма, — симплектическая форма и — почти комплексная структура. Согласуемость и означает, что форма:
является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:
Кэлеров потенциал
На комплексном многообразии , каждая строго плюригармоническая функция порождает кэлерову форму
При этом, функция называется кэлеровым потенциалом формы .
Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки кэлерова многообразия существует окрестность и функция такая, что
- .
При этом называется локальным Кэлеровым потенциалом формы .
Примеры
- Комплексное евклидово пространство со стандартной эрмитовой формой.
- Каждая риманова метрика на поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость тривиально в вещественной размерности два.
- Комплексное проективное пространство с метрикой Фубини — Штуди*.
- Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
- В K3-поверхностичастности, любое многообразие Штейна и любое проективное алгебраическое многообразие.
- По теореме Кодайры о вложении, кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая вкладываются в проективное пространство.
- K3-поверхности?!
- Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.
См. также
Литература
- P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Kähler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853.
- E. Kähler. Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642.
- R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9.
- Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
- A. Moroianu. Lectures on Kähler geometry. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 69. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0.
- A. Weil. Introduction à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.