Боровская модель атома

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Боровская модель водородоподобного атома (Z — заряд ядра), где отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро. Переход электрона с орбиты на орбиту сопровождается излучением или поглощением кванта электромагнитной энергии ().

Бо́ровская моде́ль а́тома (Моде́ль Бо́ра) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка[1]: m_evr = n\hbar \ .

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты R_n и энергии E_n находящегося на этой орбите электрона:


R
{\color{RawSienna}_n} = 
    {\color{Gray}4
    {
        \pi
    }} 
    {\color{CadetBlue}\frac
    {\varepsilon_0}
    {Ze^2}}
    \frac
    {{\color{RawSienna }n^2}
    {\color{Sepia}\hbar^2}}
    {\color{Bittersweet}{m_e}};
 \quad 
E
{\color{RawSienna}_n}  
=
{\color{Gray}
\frac
{1}
{8\pi}}
{\color{CadetBlue}\frac
{Ze^2}
{\varepsilon_0}}
\frac
{1}
{R
{\color{RawSienna}_n} };

Здесь {\color{Bittersweet}m_e} — масса электрона, {\color{CadetBlue}Z} — количество протонов в ядре, {\color{CadetBlue}\varepsilon_0} — электрическая постоянная, {\color{CadetBlue}e} — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера, решая задачу о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R0=5,2917720859(36)·10−11 м[2], ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты E_0=-13.6 эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория Бора[править | править вики-текст]

Основана на двух постулатах Бора:

  • Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определённая энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
  • Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
    1. \varepsilon=E_{n2}-E_{n1}, где \ \varepsilon — излучённая (поглощённая) энергия, \ n_1,n_2 — номера квантовых состояний. В спектроскопии \ E_{n1} и \ E_{n2} называются термами.
    2. Правило квантования момента импульса: \ m\upsilon r=n\hbar, \ n=1,2,3...

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

\ r_n=an^2, a=\frac{\hbar^2}{kme^2}=5.3\cdot10^{-11} м — боровский радиус.
\ E_n=-R_y\frac{1}{n^2}, R_y=\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2} — энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — Дирака[править | править вики-текст]

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

\oint\mathbf{p} \cdot\,\mathbf{dq} = \frac {W}{\nu} = J

где — \mathbf{p},\mathbf{q} — обобщённый импульс и координаты электрона,  W  — энергия, \nu — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой  pq  — плоскости за один период движения, равна целому числу умноженному на постоянную Планка h (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

J_1 = nh \ , J_2 = kh \ ,

где n определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона (a), а k — его фокальный параметр q:

a = a_0n^2 \ , q = a_0k^2 \ .

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

E = -\frac {RZ^2}{n^2} + \epsilon(n,k) .

где R — постоянная Ридберга, а Z — порядковый номер атома (для водорода Z = 1).

Дополнительный член  \epsilon(n, k) отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом  k . Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния (n=n_1, k=1,2 ,..., n_1 ) и низшего состояния ( n = n_2, k = 1,2 ,..., n_2 ). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (H, He^{+} ,  Li^{2+}), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия He^{+} установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

E + E_0 = E_0 \left( 1 + \frac {\alpha^2Z^2}{\left( n_r + \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2},

где \alpha — постоянная тонкой структуры, Z — порядковый номер атома, E_0 = mc^2 — энергия покоя, n_r — радиальное квантовое число, а n_\phi — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связана с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае  Z = 1 (атом водорода) величина расщепления близка к

E/h \approx R\alpha^2/n^2

Поскольку длина электромагнитной волны равна

\lambda = c/\nu = ch/E = cn^2/R\alpha^2 \approx 0,17cm

Поэтому для  n = 2 это будет почти 1 см.

Достоинства теории Бора[править | править вики-текст]

  • Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
  • Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
  • Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.
  • Объясняет границу таблицы Менделеева. Последний атом, способный существовать физически, имеет порядковый номер 137, так как, начиная со 138-го элемента 1s-электрон должен двигаться со сверхсветовой скоростью, что противоречит специальной теории относительности.

Недостатки теории Бора[править | править вики-текст]

  • Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
  • Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева без экспериментальных данных (энергии ионизации или других).
  • Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования широко используются и в наши дни как приближённые соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Борн М. Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.