Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина, а также с обычным и односторонним преобразованием Лапласа.

Определение

Если $f(t)$ является вещественной или комплексной функцией действительной переменной $t\in \mathbb {R}$, то двустороннее преобразование Лапласа ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$ задаётся формулой

${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Интеграл в этом определении подразумевается несобственным и сходящимся тогда, когда существуют $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.$

Иногда двусторонние преобразования записывают в виде

${\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Вообще, переменная $t$ может быть как вещественной, так и комплексной величиной.

Связь с другими интегральными преобразованиями

• Если $u(t)$ — функция Хевисайда, то обычное преобразование Лапласа ${\mathcal {L}}$ может быть выражено через двустороннее формулой

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.$

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить обычное по формуле

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).$

• Преобразование Меллина может быть выражено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить преобразование Меллина по формуле

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).$

• Преобразование Фурье может быть определено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).$

Свойства

Свойства преобразований Лапласа

	Временная область	Односторонняя область	Двусторонняя область
Первая производная	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Вторая производная	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Литература

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987